Dados os pontos
\mathbf{p}{1}=\left[
\right], \mathbf{p}{2}=\left[
\right] e \mathbf{p}{3}=\left[
\right] em \mathbb{R}^{2}, seja S=\operatorname{conv}\left{\mathbf{p}{1}, \mathbf{p}{2}, \mathbf{p}{3}\right}. Para cada funcional linear f, encontre o valor máximo m de f no conjunto S e encontre todos os pontos \mathbf{x} em S tais que f(\mathbf{x})=m.
a.
\mathbf{p}{1}=\left[
a.
Passo 1
O enunciado nos dá três pontos em
:
e define o conjunto convexo
que é o triângulo com vértices
. Queremos, para o funcional linear
determinar o valor máximo
e todos os pontos
tais que
.
Passo 2
Teoria básica: um funcional linear atinge seus valores extremos num poliedro convexo compacto exatamente em vértices (ou em arestas se o valor for igual em dois vértices). Aqui basta comparar o valor de
em
.
Passo 3
Calculamos
Passo 4
Desses valores, o máximo é
Passo 5
Para ver se há outros pontos em
com
, note que, para qualquer combinação convexa
, o valor de
fica entre
e
. Como somente em
temos
e nos outros vértices é menor, não há aresta nem ponto interior que atinja
, exceto
propriamente dita.
Resposta
O valor máximo é
e o único ponto em
que satisfaz
é