Dados os pontos
\mathbf{p}{1}=\left[ \begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right], \mathbf{p}{2}=\left[ \begin{array}{l}2 \\ 3\end{array}\right] e \mathbf{p}{3}=\left[ \begin{array}{r}-1 \\ 2\end{array}\right] em \mathbb{R}^{2}, seja S=\operatorname{conv}\left{\mathbf{p}{1}, \mathbf{p}{2}, \mathbf{p}{3}\right}. Para cada funcional linear f, encontre o valor máximo m de f no conjunto S e encontre todos os pontos \mathbf{x} em S tais que f(\mathbf{x})=m.
a. f\left(x_{1}, x_{2}\right)=x_{1}-x_{2}

Passo 1

O enunciado nos dá três pontos em \mathbb{R}^2:
\mathbf{p}_1 = \begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix},\quad \mathbf{p}_2 = \begin{pmatrix}2\\\ 3\end{pmatrix},\quad \mathbf{p}_3 = \begin{pmatrix}-1\\\ 2\end{pmatrix},
e define o conjunto convexo
S = \operatorname{conv}\{\mathbf{p}_1,\mathbf{p}_2,\mathbf{p}_3\},
que é o triângulo com vértices \mathbf{p}_1,\mathbf{p}_2,\mathbf{p}_3. Queremos, para o funcional linear
f(x_1,x_2)=x_1-x_2,
determinar o valor máximo
m = \max_{\mathbf{x}\in S} f(\mathbf{x})
e todos os pontos \mathbf{x}\in S tais que f(\mathbf{x})=m.

Passo 2

Teoria básica: um funcional linear atinge seus valores extremos num poliedro convexo compacto exatamente em vértices (ou em arestas se o valor for igual em dois vértices). Aqui basta comparar o valor de f em \mathbf{p}_1,\mathbf{p}_2,\mathbf{p}_3.

Passo 3

Calculamos
f(\mathbf{p}_1) = 1 - 0 = 1,\quad f(\mathbf{p}_2) = 2 - 3 = -1,\quad f(\mathbf{p}_3) = -1 - 2 = -3.

Passo 4

Desses valores, o máximo é
m = 1.

Passo 5

Para ver se há outros pontos em S com f(\mathbf{x})=1, note que, para qualquer combinação convexa \mathbf{x}=t\mathbf{p}_i+(1-t)\mathbf{p}_j, o valor de f(\mathbf{x}) fica entre f(\mathbf{p}_i) e f(\mathbf{p}_j). Como somente em \mathbf{p}_1 temos f=1 e nos outros vértices é menor, não há aresta nem ponto interior que atinja 1, exceto \mathbf{p}_1 propriamente dita.

Resposta

O valor máximo é m=1 e o único ponto em S que satisfaz f(\mathbf{x})=1 é
\mathbf{x} = \mathbf{p}_1 = \begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix}.

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