Dados os sistemas lineares
(a) x_{1}+2 x_{2}+x_{3}=2
-x_{1}-x_{2}+2 x_{3}=3
2 x_{1}+3 x_{2}=0
(b) \quad x_{1}+2 x_{2}+x_{3}=-1
-x_{1}-x_{2}+2 x_{3}=2
2 x_{1}+3 x_{2}=-2
resolva simultaneamente ambos os sistemas colocando em forma escada a matriz aumentada (A \mid B) e usando substituição duas vezes.

Passo 1

O enunciado nos dá dois sistemas lineares com a mesma matriz de coeficientes
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\\\ -1 & -1 & 2\\\\ 2 & 3 & 0 \end{pmatrix}
e vetores constantes diferentes
B^{(a)} = \begin{pmatrix}2\\\ 3\\\ 0\end{pmatrix},\quad B^{(b)} = \begin{pmatrix}-1\\\ 2\\\ -2\end{pmatrix}.
O objetivo é usar eliminação de Gauss para colocar a matriz aumentada (A\mid B) em forma escalonada e depois fazer duas substituições para encontrar (x_1,x_2,x_3) em cada caso.

Passo 2

Montamos o sistema aumentado com as duas colunas de termos independentes lado a lado:
\bigl(A\mid B^{(a)}\,B^{(b)}\bigr) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 &\vrule& 2 & -1\\\\ -1 & -1 & 2 &\vrule& 3 & 2\\\\ 2 & 3 & 0 &\vrule& 0 & -2 \end{pmatrix}.
Agora aplicamos operações de linha para zerar abaixo de a_{11}:
  1. L_2 \leftarrow L_2 + L_1
  2. L_3 \leftarrow L_3 - 2L_1
Isso dá
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 &\vrule& 2 & -1\\\\ 0 & 1 & 3 &\vrule& 5 & 1\\\\ 0 & -1 & -2 &\vrule& -4 & 0 \end{pmatrix}.
Em seguida, eliminamos o -1 em L_3, coluna 2:
  1. L_3 \leftarrow L_3 + L_2
Ficando a forma escalonada:
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 &\vrule& 2 & -1\\\\ 0 & 1 & 3 &\vrule& 5 & 1\\\\ 0 & 0 & 1 &\vrule& 1 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Da linha 3 lemos diretamente
x_3^{(a)} = 1,\quad x_3^{(b)} = 1.
Esta é a primeira substituição: encontramos x_3.

Passo 4

Substituímos cada x_3 na linha 2 para achar x_2:
x_2 + 3x_3 = 5 \quad\Longrightarrow\quad x_2^{(a)} + 3\cdot1 = 5 \;\Rightarrow\; x_2^{(a)} = 2,
x_2 + 3x_3 = 1 \quad\Longrightarrow\quad x_2^{(b)} + 3\cdot1 = 1 \;\Rightarrow\; x_2^{(b)} = -2.
Esta é a segunda substituição: encontramos x_2.

Passo 5

Finalmente, substituímos x_2 e x_3 na linha 1 para encontrar x_1:
x_1 + 2x_2 + x_3 = 2 \;\Rightarrow\; x_1^{(a)} + 2\cdot2 + 1 = 2 \;\Rightarrow\; x_1^{(a)} = -3,
x_1 + 2x_2 + x_3 = -1 \;\Rightarrow\; x_1^{(b)} + 2\cdot(-2) + 1 = -1 \;\Rightarrow\; x_1^{(b)} = 2.

Resposta

(a) \,(x_1,x_2,x_3)=(-3,\,2,\,1)
(b) \,(x_1,x_2,x_3)=(2,\,-2,\,1)