Dados os vetores vec{u}=(1,-1,0) e vec{v}=(0,1,-1), calcular:
vec{u} \wedge \vec{v}

Passo 1

O enunciado apresenta os vetores \vec u=(1,-1,0) e \vec v=(0,1,-1) e pede para calcular o produto vetorial \vec u\wedge\vec v em \mathbb{R}^3. Para isso, vamos usar a definição via determinante, que gera um vetor perpendicular a ambos segundo a regra da mão direita.

Passo 2

A definição de produto vetorial é dada pelo determinante
\vec u \wedge \vec v = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\ u_1 & u_2 & u_3 \\\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix}
Substituindo \vec u=(1,-1,0) e \vec v=(0,1,-1) e expandindo pela primeira linha, obtemos
\mathbf{i}\bigl((-1)(-1)-0\cdot1\bigr) \;-\; \mathbf{j}\bigl(1\cdot(-1)-0\cdot0\bigr) \;+\; \mathbf{k}\bigl(1\cdot1-(-1)\cdot0\bigr).

Passo 3

Calculamos cada um dos três menores:
(-1)(-1)-0\cdot1 = 1,
1\cdot(-1)-0\cdot0 = -1,
1\cdot1-(-1)\cdot0 = 1.
Logo o produto vetorial fica
\mathbf{i}(1) - \mathbf{j}(-1) + \mathbf{k}(1) = \mathbf{i} + \mathbf{j} + \mathbf{k},
ou seja, em coordenadas,
(1,\,1,\,1).

Resposta

\displaystyle \vec u \wedge \vec v = (1,\,1,\,1)