Dados os vetores \vec{u}=(3,2,1), \vec{v}=(-4,-3,1) e \vec{w}=(2,1,1), pede-se determinar os escalares \lambda, \mu, \nu tais que: \lambda \vec{u}+\mu \vec{v}+\nu \vec{w}=(0,0,0)

Passo 1

O enunciado dá três vetores em \mathbb{R}^3,
\vec u=(3,2,1),\quad \vec v=(-4,-3,1),\quad \vec w=(2,1,1),
e pede todos os escalares \lambda,\mu,\nu tais que
\lambda\vec u+\mu\vec v+\nu\vec w=(0,0,0).
O conteúdo é resolução de sistema linear para verificar se há combinação não trivial (dependência linear).

Passo 2

Escrevendo a combinação componente a componente, temos o sistema
\begin{cases} 3\lambda -4\mu +2\nu = 0,\\\\ 2\lambda -3\mu +\nu = 0,\\\ \lambda +\mu +\nu = 0. \end{cases}

Passo 3

Da terceira equação vem
\lambda = -\mu - \nu.
Substituindo em cada uma das duas primeiras:
- Na primeira:
3(-\mu-\nu)-4\mu+2\nu=0 \quad\Longrightarrow\quad -7\mu-\nu=0 \quad\Longrightarrow\quad \nu=-7\mu.
- Na segunda:
2(-\mu-\nu)-3\mu+\nu=0 \quad\Longrightarrow\quad -5\mu-\nu=0 \quad\Longrightarrow\quad \nu=-5\mu.
Igualando as duas expressões para \nu
-7\mu = -5\mu \;\Longrightarrow\; \mu=0,
e daí \nu=0 e \lambda=-\mu-\nu=0.

Resposta

\lambda=0,\;\mu=0,\;\nu=0