Determine o centro e o raio do círculo de equação dada:
x^2+y^2+x+y-1=0

Passo 1

O enunciado pede para achar o centro e o raio do círculo de equação geral. O conteúdo aqui é Geometria Analítica de Círculo: precisamos usar o método de completar quadrados para transformar a equação na forma padrão (x-h)^2+(y-k)^2=r^2.

Passo 2

Primeiro, vamos agrupar os termos em x e y e passar o termo constante para o outro lado. A equação original é:
x^2+y^2+x+y-1=0
Passando -1 para o outro lado:
x^2+x+y^2+y=1

Passo 3

Agora completamos o quadrado em x e em y.
Para x^2+x adicionamos e subtraímos tfrac14, pois l(x+tfrac12r)^2=x^2+x+tfrac14.
O mesmo vale para y^2+y.
Então:
x^2+x+tfrac14+y^2+y+tfrac14=1+tfrac14+tfrac14
que simplifica para
(x+tfrac12)^2+(y+tfrac12)^2=1+tfrac12=tfrac32

Passo 4

Na forma padrão (x-h)^2+(y-k)^2=r^2 identificamos
h=-tfrac12, ek=-tfrac12, er^2=tfrac32
Logo, o centro é l(-tfrac12,-tfrac12r) e o raio é r=raiztfrac32.

Resposta

O centro é l(-tfrac12,-tfrac12r) e o raio é raiztfrac32.