Determine duas bases para o espaço linha de A que não tenham vetores em comum.
A=\left[\begin{array}{rrr}1 & 3 & 1 \\\\ 2 & 5 & 0 \\\\ 4 & 11 & 2 \\\\ 6 & 9 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede duas bases para o espaço-linha de
A=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 1\\\\ 2 & 5 & 0\\\\ 4 &11 & 2\\\\ 6 & 9 & 1 \end{pmatrix}
de modo que as duas bases não compartilhem nenhum vetor. Vamos usar escalonamento para encontrar o posto e extrair uma base a partir de linhas originais e outra a partir de combinações das linhas escalonadas.

Passo 2

Escalonando A por operações elementares de linha obtemos
\begin{pmatrix} 1 & 3 & 1\\\\ 0 & -1 & -2\\\\ 0 & 0 & 13\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Dessa forma o posto é \rank(A)=3 e as três primeiras linhas não-nulas formam uma base na forma escalonada:
L_1=(1,3,1),\quad L_2=(0,-1,-2),\quad L_3=(0,0,13).

Passo 3

Para extrair a primeira base diretamente de linhas de A, notamos que as linhas pivô da forma escalonada vêm das linhas 1, 2 e 4 de A. Assim escolhemos
B_1=\bigl\{(1,3,1),\,(2,5,0),\,(6,9,1)\bigr\},
isto é, \{\text{linha}_1,\text{linha}_2,\text{linha}_4\}. Essas três linhas são independentes e geram o espaço-linha.

Passo 4

Para construir uma segunda base sem repetir vetores de B_1, usamos combinações lineares das linhas escalonadas L_1,L_2,L_3. Por exemplo, definimos
v_1 = L_1 + L_2 = (1,3,1)+(0,-1,-2) = (1,2,-1),
v_2 = -\,L_2 = (0,1,2),
v_3 = \tfrac1{13}\,L_3 = (0,0,1).
Como operações de combinação linear não mudam o espaço-linha, o conjunto
B_2=\bigl\{(1,2,-1),\,(0,1,2),\,(0,0,1)\bigr\}
é outra base de \Row(A). Nenhum dos vetores de B_2 coincide com os de B_1.

Resposta

A duas bases para o espaço-linha de A sem vetores em comum são:
B_1=\{(1,3,1),\,(2,5,0),\,(6,9,1)\},
B_2=\{(1,2,-1),\,(0,1,2),\,(0,0,1)\}.