Determine duas bases para o espaço linha de A que não tenham vetores em comum. A=\left[\begin{array}{rrr}1 & 3 & 1 \\\\ 2 & 5 & 0 \\\\ 4 & 11 & 2 \\\\ 6 & 9 & 1\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado pede duas bases para o espaço-linha de
de modo que as duas bases não compartilhem nenhum vetor. Vamos usar escalonamento para encontrar o posto e extrair uma base a partir de linhas originais e outra a partir de combinações das linhas escalonadas.
Passo 2
Escalonando A por operações elementares de linha obtemos
Para extrair a primeira base diretamente de linhas de A, notamos que as linhas pivô da forma escalonada vêm das linhas 1, 2 e 4 de A. Assim escolhemos
B_1=\bigl\{(1,3,1),\,(2,5,0),\,(6,9,1)\bigr\},
isto é, \{\text{linha}_1,\text{linha}_2,\text{linha}_4\}. Essas três linhas são independentes e geram o espaço-linha.
Passo 4
Para construir uma segunda base sem repetir vetores de B_1, usamos combinações lineares das linhas escalonadas L_1,L_2,L_3. Por exemplo, definimos
v_1 = L_1 + L_2 = (1,3,1)+(0,-1,-2) = (1,2,-1),
v_2 = -\,L_2 = (0,1,2),
v_3 = \tfrac1{13}\,L_3 = (0,0,1).
Como operações de combinação linear não mudam o espaço-linha, o conjunto
B_2=\bigl\{(1,2,-1),\,(0,1,2),\,(0,0,1)\bigr\}
é outra base de \Row(A). Nenhum dos vetores de B_2 coincide com os de B_1.
Resposta
A duas bases para o espaço-linha de A sem vetores em comum são:
B_1=\{(1,3,1),\,(2,5,0),\,(6,9,1)\},
B_2=\{(1,2,-1),\,(0,1,2),\,(0,0,1)\}.
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Bernard K e David R - Introdução à Álgebra Linear Com Aplicações (Vol 1) - 8ª Edição - Capítulo 6.6. Exercícios com o Matlab - Ex. ML.2.a