Determine os extremos locais de
usando o teste da derivada segunda quando aplicável. Ache os intervalos em que o gráfico de
é côncavo para cima ou para baixo, e determine as coordena-das-
dos pontos de inflexão. Faça o gráfico de
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede:
– extremos locais (usando o teste da segunda derivada);
– intervalos de concavidade para cima e para baixo;
– abscissas dos pontos de inflexão;
– esboço do gráfico de .
– extremos locais (usando o teste da segunda derivada);
– intervalos de concavidade para cima e para baixo;
– abscissas dos pontos de inflexão;
– esboço do gráfico de
Para isso vamos precisar calcular
e
, resolver
para obter pontos críticos, usar
para classificar extremos e concavidade, depois achar onde
.
Passo 2
Calcular a primeira derivada e encontrar pontos críticos:
Resolvendo
:
Logo, os pontos críticos são
e
.
Passo 3
Calcular a segunda derivada e usar o teste da segunda derivada:
Em
:
Em
:
Agora calculamos os valores de
nesses pontos:
Portanto
– máximo local em ;
– mínimo local em .
– máximo local em
– mínimo local em
Passo 4
Determinar concavidade e pontos de inflexão:
– Para
,
;
;côncavo para baixo.
– Para ,
;
;côncavo para cima.
O ponto de inflexão ocorre em . Seu valor em
é
– Para
O ponto de inflexão ocorre em
Passo 5
Esboço do gráfico de
:
– Devido ao termo ,
e
.
– Máximo local em e mínimo local em
.
– Ponto de inflexão em .
– Côncavo para baixo em e côncavo para cima em
.
– Devido ao termo
– Máximo local em
– Ponto de inflexão em
– Côncavo para baixo em
Resposta
Máximo local:
Mínimo local:
Concavidade para baixo em
Concavidade para cima em
Ponto de inflexão em (isto é,
).
Esboço conforme descrito acima.
Mínimo local:
Concavidade para baixo em
Concavidade para cima em
Ponto de inflexão em
Esboço conforme descrito acima.