Determine os extremos locais de f usando o teste da derivada segunda quando aplicável. Ache os intervalos em que o gráfico de f é côncavo para cima ou para baixo, e determine as coordena-das- x dos pontos de inflexão. Faça o gráfico de f.
f(x)=x^{3}-2 x^{2}+x+1

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^{3}-2x^{2}+x+1
e pede:
– extremos locais (usando o teste da segunda derivada);
– intervalos de concavidade para cima e para baixo;
– abscissas dos pontos de inflexão;
– esboço do gráfico de f.
Para isso vamos precisar calcular f' e f'', resolver f'(x)=0 para obter pontos críticos, usar f'' para classificar extremos e concavidade, depois achar onde f''(x)=0.

Passo 2

Calcular a primeira derivada e encontrar pontos críticos:
f'(x)=3x^{2}-4x+1.
Resolvendo f'(x)=0:
\Delta = (-4)^{2}-4\cdot3\cdot1=16-12=4,
x=\frac{4\pm\sqrt{4}}{2\cdot3}=\frac{4\pm2}{6} \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{1}{3}\quad\text{ou}\quad x=1.
Logo, os pontos críticos são x=\tfrac13 e x=1.

Passo 3

Calcular a segunda derivada e usar o teste da segunda derivada:
f''(x)=6x-4.
Em x=\tfrac13:
f''\bigl(\tfrac13\bigr)=6\cdot\tfrac13-4=2-4=-2<0 \quad\Longrightarrow\quad \text{extremo local (máximo).}á
Em x=1:
f''(1)=6\cdot1-4=2>0 \quad\Longrightarrow\quad \text{extremo local (mínimo).}í
Agora calculamos os valores de f nesses pontos:
f\bigl(\tfrac13\bigr) =\bigl(\tfrac13\bigr)^{3}-2\bigl(\tfrac13\bigr)^{2}+\tfrac13+1 =\frac{1}{27}-\frac{2}{9}+\frac{1}{3}+1 =\frac{31}{27},
f(1)=1-2+1+1=1.
Portanto
– máximo local em \bigl(\tfrac13,\tfrac{31}{27}\bigr);
– mínimo local em (1,1).

Passo 4

Determinar concavidade e pontos de inflexão:
f''(x)=6x-4=0 \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}.
– Para x<\tfrac{2}{3}, f''(x)<0; \Rightarrow;côncavo para baixo.
– Para x>\tfrac{2}{3}, f''(x)>0; \Rightarrow;côncavo para cima.
O ponto de inflexão ocorre em x=\tfrac{2}{3}. Seu valor em f é
f\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr) =\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^{3}-2\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^{2}+\tfrac{2}{3}+1 =\frac{8}{27}-\frac{8}{9}+\frac{2}{3}+1 =\frac{29}{27}.

Passo 5

Esboço do gráfico de f:
– Devido ao termo x^3, \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty e \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty.
– Máximo local em \bigl(\tfrac13,\tfrac{31}{27}\bigr) e mínimo local em (1,1).
– Ponto de inflexão em \bigl(\tfrac{2}{3},\tfrac{29}{27}\bigr).
– Côncavo para baixo em (-\infty,\tfrac{2}{3}) e côncavo para cima em (\tfrac{2}{3},+\infty).

Resposta

Máximo local: \bigl(\tfrac13,\tfrac{31}{27}\bigr)
Mínimo local: (1,1)
Concavidade para baixo em \bigl(-\infty,\tfrac{2}{3}\bigr)
Concavidade para cima em \bigl(\tfrac{2}{3},+\infty\bigr)
Ponto de inflexão em x=\tfrac{2}{3} (isto é, \bigl(\tfrac{2}{3},\tfrac{29}{27}\bigr)).
Esboço conforme descrito acima.