Determine o MDC e o MMC dos grupos de polinômios.
5.12
MMC
5.12
Passo 1
O enunciado pede para achar o máximo divisor comum (MDC) e o mínimo múltiplo comum (MMC) de três expressões polinomiais: 48 r³ t⁴, 54 r² t⁶ e 60 r⁴ t². O conteúdo envolvido é fatoração em números primos e variáveis, e vamos precisar usar a ideia de escolher expoentes mínimos para o MDC e expoentes máximos para o MMC.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar cada polinômio em fatores primos e nas variáveis r e t. Em bloco, temos:
Passo 3
Para encontrar o MDC (máximo divisor comum) de polinômios, tomamos cada base (2, 3, 5, r, t) e escolhemos o menor expoente que aparece em todas as fatorações. Assim:
- Para 2: min(4,1,2)=1
- Para 3: min(1,3,1)=1
- Para 5: min(0,0,1)=0 (não entra no MDC)
- Para r: min(3,2,4)=2
- Para t: min(4,6,2)=2
Logo,
Passo 4
Para o MMC (mínimo múltiplo comum), fazemos o contrário: escolhemos o maior expoente de cada base entre as três fatorações. Assim:
- Para 2: max(4,1,2)=4
- Para 3: max(1,3,1)=3
- Para 5: max(0,0,1)=1
- Para r: max(3,2,4)=4
- Para t: max(4,6,2)=6
Portanto,
Resposta
MDC = 6,r{2}t{2}; MMC = 2160,r{4}t{6}.