Determine o MDC e o MMC dos grupos de polinômios.
5.12
48 r^3 t^4=2^4 3 r^3 t^4, 54 r^2 t^6=2 3^3 r^2 t^6, 60 r^4 t^2=2^2 3 5 r^4 t^2
MDC=2 3 r^2 t^2=6 r^2 t^2, MMC =2^4 3^3 5 r^4 t^6=2.160 r^4 t^6

Passo 1

O enunciado pede para achar o máximo divisor comum (MDC) e o mínimo múltiplo comum (MMC) de três expressões polinomiais: 48 r³ t⁴, 54 r² t⁶ e 60 r⁴ t². O conteúdo envolvido é fatoração em números primos e variáveis, e vamos precisar usar a ideia de escolher expoentes mínimos para o MDC e expoentes máximos para o MMC.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar cada polinômio em fatores primos e nas variáveis r e t. Em bloco, temos:
48,r^3t^4 = 2^4cdot 3^1cdot r^3cdot t^4,
54,r^2t^6 = 2^1cdot 3^3cdot r^2cdot t^6,
60,r^4t^2 = 2^2cdot 3^1cdot 5^1cdot r^4cdot t^2

Passo 3

Para encontrar o MDC (máximo divisor comum) de polinômios, tomamos cada base (2, 3, 5, r, t) e escolhemos o menor expoente que aparece em todas as fatorações. Assim:
  • Para 2: min(4,1,2)=1
  • Para 3: min(1,3,1)=1
  • Para 5: min(0,0,1)=0 (não entra no MDC)
  • Para r: min(3,2,4)=2
  • Para t: min(4,6,2)=2
    Logo,
MDC = 2^1cdot 3^1cdot r^2cdot t^2 = 6,r^2t^2

Passo 4

Para o MMC (mínimo múltiplo comum), fazemos o contrário: escolhemos o maior expoente de cada base entre as três fatorações. Assim:
  • Para 2: max(4,1,2)=4
  • Para 3: max(1,3,1)=3
  • Para 5: max(0,0,1)=1
  • Para r: max(3,2,4)=4
  • Para t: max(4,6,2)=6
    Portanto,
MMC = 2^4cdot 3^3cdot 5^1cdot r^4cdot t^6 = 2160,r^4t^6

Resposta

MDC = 6,r{2}t{2}; MMC = 2160,r{4}t{6}.