Determine o MDC e o MMC dos grupos de polinômios.
5.12
9 x^4 y^2=3^2 x^4 y^2, 12 x^3 y^3=2^2 3 x^3 y^3
MDC=3 x^3 y^2, MMC =2^2 3^2 x^4 y^3=36 x^4 y^3

Passo 1

Vamos achar o MDC e o MMC de dois polinômios usando fatoração em primos e expoentes de variáveis. Os polinômios são 9x⁴y² e 12x³y³.

Passo 2

Fatorando cada expressão em fatores primos e variáveis temos:
9x^4y^2 = 3^2 cdot x^4 cdot y^2
12x^3y^3 = 2^2 cdot 3 cdot x^3 cdot y^3

Passo 3

Para o MDC (máximo divisor comum) tomamos, em cada primo e em cada variável, o menor expoente que aparece em ambas as fatorações:
  • Para 2: min(0,2)=0
  • Para 3: min(2,1)=1
  • Para x: min(4,3)=3
  • Para y: min(2,3)=2
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MDC = 2^0 cdot 3^1 cdot x^3 cdot y^2 = 3x^3y^2

Passo 4

Para o MMC (mínimo múltiplo comum) tomamos, em cada primo e em cada variável, o maior expoente que aparece em ambas as fatorações:
  • Para 2: max(0,2)=2
  • Para 3: max(2,1)=2
  • Para x: max(4,3)=4
  • Para y: max(2,3)=3
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MMC = 2^2 cdot 3^2 cdot x^4 cdot y^3 = 36x^4y^3

Resposta

MDC = 3x^3y^2, MMC = 36x^4y^3