Determine os restos e os quocientes das divisões de f por g nos seguintes casos:
f(x)=x^6+1 e g(x)=x+1

Passo 1

O enunciado pede para dividir o polinômio
f(x)=x^6+1
pelo polinômio
g(x)=x+1,
ou seja, usar o algoritmo de divisão de polinômios e também o Teorema do Resto para achar o resto r (com deg r<deg g=1) e o quociente q(x).

Passo 2

Pelo Teorema do Resto, o resto da divisão de f(x) por x+1 é
r = f(-1) = (-1)^6 + 1 = 1 + 1 = 2

Passo 3

Agora aplicamos a divisão sintética de f(x) por x+1, usando a raiz -1. Os coeficientes de f são
1,;0,;0,;0,;0,;0,;1
Montando a divisão sintética:
c|rrrrrrr -1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1hline & & -1& 1 & -1& 1 & -1& 1hline & 1 & -1& 1 & -1& 1 & -1& 2
Os números na última linha, exceto o último, são os coeficientes do quociente; o último é o resto.

Passo 4

Então o quociente é o polinômio de grau 5 cujos coeficientes são
1,;-1,;1,;-1,;1,;-1,
isto é,
q(x)=x^5-x^4+x^3-x^2+x-1,
e o resto é
r=2

Resposta

Quociente: q(x)=x^5-x^4+x^3-x^2+x-1
Resto: r=2