Determine os restos e os quocientes das divisões de f por g nos seguintes casos:
f(x)=x^5+243 e g(x)=x+3

Passo 1

O enunciado nos dá f(x)=x^5+243 e g(x)=x+3. Queremos encontrar o quociente q(x) e o resto r da divisão de f por g. Vamos usar o Teorema do Resto e a fatoração da soma de potências.

Passo 2

Pelo Teorema do Resto, o resto da divisão de f(x) por x - a é f(a). Aqui, g(x)=x+3=x-(-3), logo calculamos
r = f(-3) = (-3)^5 + 243 = -243 + 243 = 0

Passo 3

Como o resto é zero, sabemos que x+3 divide exatamente f(x). Usamos a fatoração
a^5 + b^5 = (a + b)l(a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4r),
com a = x e b = 3, para obter
x^5 + 3^5 = (x + 3)l(x^4 - 3x^3 + 9x^2 - 27x + 81r)

Passo 4

Da expressão acima, identificamos diretamente o quociente da divisão:
q(x) = x^4 - 3x^3 + 9x^2 - 27x + 81

Resposta

Quociente: x^4 - 3x^3 + 9x^2 - 27x + 81
Resto: 0