Determine a solução geral do sistema linear cuja matriz aumentada é
\left[\begin{array}{rrrr} 1 & -3 & -5 & 0 \\\\ 0 & 1 & -1 & -1 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz aumentada de um sistema com três incógnitas (x,y,z) e duas equações, já em forma escalonada:
\begin{cases} x - 3y - 5z = 0,\\\ \;y - z = -1. \end{cases}
O conteúdo é resolução de sistemas lineares por escalonamento: vamos identificar variáveis básicas e livres e parametrizar a solução.

Passo 2

Na forma escalonada, vemos pivô em x (linha 1, coluna 1) e pivô em y (linha 2, coluna 2). A variável z não tem pivô, logo é livre. Definimos
z = t,\quad t\in\mathbb{R}.

Passo 3

Da segunda equação y - z = -1, substituindo z=t isolamos y:
y = -1 + z = -1 + t.

Passo 4

Da primeira equação x - 3y - 5z = 0, substituímos y=-1+t e z=t:
x - 3(-1+t) - 5t = 0 \;\Longrightarrow\; x +3 -3t -5t = 0 \;\Longrightarrow\; x = 8t -3.

Passo 5

Assim a solução geral, em função do parâmetro t, é
(x,y,z) = \bigl(8t-3,\;t-1,\;t\bigr).
Em forma vetorial:
\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3\\\ -1\\\ 0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}8\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix},\quad t\in\mathbb{R}.

Resposta

\boxed{(x,y,z) = (8t-3,\;t-1,\;t),\\ t\in\mathbb{R}.}