Q 1.1. Efetue a translação dos eixos coordenados \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) da base natural para o sistema de eixos \left(x_{1}^{\prime}, x_{2}^{\prime}, x_{3}^{\prime}\right) com origem em a (1,2,1). Represente graficamente o vetor v=(1,3,2) em ambos os sistemas do \mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado pede para fazermos a translação do sistema de eixos naturais \bigl(x_{1},x_{2},x_{3}\bigr) para um novo sistema \bigl(x_{1}',x_{2}',x_{3}'\bigr) cuja origem O' está no ponto a=(1,2,1). O conteúdo é mudança de origem em \mathbb{R}^3 e precisamos usar a fórmula de translação de coordenadas para vetores.

Passo 2

Seja \vec v\) um vetor arbitrário. Chamando \((x_{1},x_{2},x_{3})\) suas coordenadas no sistema original e \(\bigl(x_{1}',x_{2}',x_{3}'\bigr)\) as coordenadas no sistema traduzido, a relação é \[\begin{cases} x_{1} = x_{1}' + 1,\\\ x_{2} = x_{2}' + 2,\\\ x_{3} = x_{3}' + 1, \end{cases}
pois a nova origem O'\] tem coordenadas \((1,2,1) no sistema original.

Passo 3

Aplicando a essa relação ao vetor dado \vec v=(1,3,2), temos
\begin{aligned} 1 &= x_{1}' + 1 \implies x_{1}' = 0,\\\\ 3 &= x_{2}' + 2 \implies x_{2}' = 1,\\\\ 2 &= x_{3}' + 1 \implies x_{3}' = 1. \end{aligned}
Logo, no sistema \bigl(x_{1}',x_{2}',x_{3}'\bigr), o vetor é \vec v=(0,1,1).

Passo 4

Graficamente:
  • No sistema original \bigl(x_{1},x_{2},x_{3}\bigr), desenhamos um vetor partindo de O=(0,0,0) até o ponto (1,3,2).
  • No sistema traduzido \bigl(x_{1}',x_{2}',x_{3}'\bigr), desenhamos um vetor partindo de O'=(1,2,1) (na base original) até (1,3,2), o que em coordenadas locais é o ponto (0,1,1).

Resposta

No sistema original:
\vec v=(1,3,2).
No sistema com origem em (1,2,1):
\vec v=(0,1,1).