Se
, então podemos representar a parte real de
por
e a parte imaginária de
por
.
(a) Para quaisquer números complexos
e
, mostre que
.
(b) Para qualquer número real
, mostre que
.
(c) A parte (b) é verdadeira se
é um número complexo?
(d) Prove ou dê um contra-exemplo:
(a) Para quaisquer números complexos
(b) Para qualquer número real
(c) A parte (b) é verdadeira se
(d) Prove ou dê um contra-exemplo:
Passo 1
O enunciado trata das operações com números complexos e as suas partes real e imaginária. Vamos usar a definição de número complexo
onde
e
, e as regras de soma e produto escalar de complexos para mostrar as propriedades pedidas.
Passo 2
(a) Seja
e
. Então
Pelo reconhecimento da parte real e da parte imaginária, temos
Passo 3
(b) Seja
real e
. Então
Dessa forma
Passo 4
(c) Se
for complexo, por exemplo
e
, então
logo
. Mas
.
Portanto, a igualdade de (b) não vale em geral quando é complexo.
Portanto, a igualdade de (b) não vale em geral quando
Passo 5
(d) Escrevendo
vemos que
enquanto
Em geral esses dois valores não coincidem (vê-se o termo
). Por exemplo, se
então
, logo
mas
. Assim a afirmação é falsa.
Resposta
(a) Demonstrado acima.
(b) Demonstrado acima.
(c) Não, em geral falha (ex.: ,
).
(d) Falsa em geral; contra-exemplo .
(b) Demonstrado acima.
(c) Não, em geral falha (ex.:
(d) Falsa em geral; contra-exemplo