Se c=a+b i, então podemos representar a parte real de c por \operatorname{Re}\text{(c)} e a parte imaginária de c por \operatorname{Im}\text{(c)}.
(a) Para quaisquer números complexos c_{1}=a_{1}+b_{1} i e c_{2}=a_{2}+ b_{2} i, mostre que
\operatorname{Re}\left(c_{1}+c_{2}\right)=\operatorname{Re}\left(c_{1}\right)+\operatorname{Re}\left(c_{2}\right) \mathrm{e}
\operatorname{Im}\left(c_{1}+c_{2}\right)=\operatorname{Im}\left(c_{1}\right)+\operatorname{Im}\left(c_{2}\right).
(b) Para qualquer número real k, mostre que
\operatorname{Re}(k c)=k \operatorname{Re}\text{(c)} \mathrm{e} \operatorname{Im}(k c)=k \operatorname{Im}\text{(c)}.
(c) A parte (b) é verdadeira se k é um número complexo?
(d) Prove ou dê um contra-exemplo:
\operatorname{Re}\left(c_{1} c_{2}\right)=\operatorname{Re}\left(c_{1}\right) \cdot \operatorname{Re}\left(c_{2}\right)

Passo 1

O enunciado trata das operações com números complexos e as suas partes real e imaginária. Vamos usar a definição de número complexo
c = a + b\,i
onde \operatorname{Re}\text{(c)}=a e \operatorname{Im}\text{(c)}=b, e as regras de soma e produto escalar de complexos para mostrar as propriedades pedidas.

Passo 2

(a) Seja c_{1}=a_{1}+b_{1}i e c_{2}=a_{2}+b_{2}i. Então
c_{1}+c_{2} = (a_{1}+a_{2}) + (b_{1}+b_{2})\,i.
Pelo reconhecimento da parte real e da parte imaginária, temos
\operatorname{Re}(c_{1}+c_{2}) = a_{1}+a_{2} = \operatorname{Re}(c_{1}) + \operatorname{Re}(c_{2}),
\operatorname{Im}(c_{1}+c_{2}) = b_{1}+b_{2} = \operatorname{Im}(c_{1}) + \operatorname{Im}(c_{2}).

Passo 3

(b) Seja k real e c=a+bi. Então
k\,c = k\,a + k\,b\,i.
Dessa forma
\operatorname{Re}(k\,c) = k\,a = k\,\operatorname{Re}\text{(c)},
\operatorname{Im}(k\,c) = k\,b = k\,\operatorname{Im}\text{(c)}.

Passo 4

(c) Se k for complexo, por exemplo k=i e c=1+i, então
k\,c = i\,(1+i) = i - 1 = -1 + i,
logo \operatorname{Re}(k\,c) = -1. Mas \operatorname{Re}(k)\operatorname{Re}\text{(c)} = 0 \cdot 1 = 0.
Portanto, a igualdade de (b) não vale em geral quando k é complexo.

Passo 5

(d) Escrevendo
c_{1}c_{2} = (a_{1}+b_{1}i)(a_{2}+b_{2}i) = (a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2}) + (a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1})\,i,
vemos que
\operatorname{Re}(c_{1}c_{2}) = a_{1}a_{2} - b_{1}b_{2},
enquanto
\operatorname{Re}(c_{1})\cdot\operatorname{Re}(c_{2}) = a_{1}a_{2}.
Em geral esses dois valores não coincidem (vê-se o termo -b_{1}b_{2}). Por exemplo, se c_{1}=c_{2}=i então c_{1}c_{2}=-1, logo \operatorname{Re}(c_{1}c_{2})=-1 mas \operatorname{Re}(i)\operatorname{Re}(i)=0. Assim a afirmação é falsa.

Resposta

(a) Demonstrado acima.
(b) Demonstrado acima.
(c) Não, em geral falha (ex.: k=i, c=1+i).
(d) Falsa em geral; contra-exemplo c_{1}=c_{2}=i.