Esboce um diagrama mostrando que \mathbf{u}+\mathbf{v}=\mathbf{v}+\mathbf{u}.

Passo 1

O enunciado pede um diagrama que mostre a comutatividade da adição de vetores, isto é, que \mathbf{u}+\mathbf{v}=\mathbf{v}+\mathbf{u}.
Para isso usamos a regra do paralelogramo: somar \mathbf{u} a \mathbf{v} ou \mathbf{v} a \mathbf{u} leva ao mesmo vetor resultante.

Passo 2

Escolha um ponto origem O. A partir de O, desenhe o vetor \mathbf{u} com extremidade em A. Em seguida, a partir de A, desenhe o vetor \mathbf{v}$ até o ponto \(B. O vetor O B representa \mathbf{u}+\mathbf{v}.)

Passo 3

Agora, novamente a partir de O, desenhe o vetor \mathbf{v} com extremidade em C. Depois, a partir de C, desenhe o vetor \mathbf{u} até o ponto B'. O vetor O B' representa \mathbf{v}+\mathbf{u}.

Passo 4

Como OACB é um paralelogramo, os pontos finais B e B' coincidem. Logo, ambos os caminhos de O até esse ponto final dão o mesmo vetor.

Passo 5

Portanto, o diagrama mostra que
\mathbf{u}+\mathbf{v} = \overrightarrow{O B} \quad\text{e}\quad \mathbf{v}+\mathbf{u} = \overrightarrow{O B'},
com B=B'. Assim graficamente \mathbf{u}+\mathbf{v}=\mathbf{v}+\mathbf{u}.

Resposta

Desenho esquemático do paralelogramo:
O \xrightarrow{\;\mathbf{u}\;} A \xrightarrow{\;\mathbf{v}\;} B \quad\text{e}\quad O \xrightarrow{\;\mathbf{v}\;} C \xrightarrow{\;\mathbf{u}\;} B
onde os dois caminhos levam ao mesmo ponto B, mostrando que \mathbf{u}+\mathbf{v}=\mathbf{v}+\mathbf{u}.