Escreva a equação da parábola na forma padrão e determine o vértice, o foco, a diretriz e o eixo de simetria.
3 x^2+18 x+11 y+5=0

Passo 1

O enunciado pede para escrever a parábola dada por 3x²+18x+11y+5=0 na forma padrão e achar vértice, foco, diretriz e eixo de simetria. Aqui vamos usar completamento de quadrado em x para chegar à forma (x–h)²=4p(y–k) e então aplicar as fórmulas que relacionam h,k,p ao foco e diretiz.

Passo 2

Reescrevemos a equação agrupando os termos em x: 3x²+18x+11y+5=0 ⇒ 3(x²+6x)+11y+5=0.
Dentro de parênteses, completamos o quadrado: x²+6x = (x+3)²–9. Substituindo: 3[(x+3)²–9]+11y+5=0 ⇒ 3(x+3)²–27+11y+5=0 ⇒ 3(x+3)²+11y–22=0.

Passo 3

Isolamos y: 11y = –3(x+3)²+22 ⇒ y = –(3/11)(x+3)² + 22/11. Agora colocamos na forma (x–h)²=4p(y–k). Como 22/11 = 2, temos
(x+3)² = -113(y-2) ²
onde h=–3, k=2 e 4p = –11/3 ⇒ p = –11/12.

Passo 4

Com h,k,p em mãos, determinamos: vértice V=(h,k)=(-3,2); foco F=(h,k+p)=(-3,2–11/12)=(-3,13/12); diretiz y = k–p = 2+11/12 = 35/12; eixo de simetria x = h = -3.

Resposta

A forma padrão é:
(x+3)² = -113(y-2) ²
Vértice V = (-3,2), Foco F = l(-3,tfrac1312r), Diretriz y = tfrac3512 e Eixo de simetria x = -3.