Nos Exercícios de 1 a 9, formule matematicamente cada um dos problemas de programação linear.
Um fabricante produz dois tipos de aço: normal e especial. Uma tonelada de aço normal requer 2 horas no forno de soleira aberta e 5 horas de molho; uma tonelada de aço especial requer 2 horas no forno de soleira aberta e 3 horas de molho. O forno de soleira aberta está disponível 8 horas por dia e o molho está disponível 15 horas por dia. O lucro em uma tonelada de aço normal é de \ 120 e de$100$ em uma tonelada de aço especial. Determine quantas toneladas de cada tipo de aço deverão ser produzidas para maximizar o lucro.

Passo 1

O enunciado trata de programação linear: um fabricante produz aço normal e especial e quer maximizar o lucro diário sujeito a limitações de tempo de forno de soleira aberta e de molho. Para resolver, precisamos definir variáveis de decisão, montar a função objetivo (lucro) e as restrições de capacidade.

Passo 2

Definimos as variáveis de decisão:
x_1 = \text{toneladas de aço normal produzidas por dia},ç
x_2 = \text{toneladas de aço especial produzidas por dia}.ç

Passo 3

O lucro é de $120 por tonelada de aço normal e $100 por tonelada de aço especial. Logo, a função objetivo a maximizar é
\max Z = 120\,x_1 + 100\,x_2.

Passo 4

As restrições vêm dos tempos disponíveis:
  1. Forno de soleira aberta: cada tonelada normal e especial consome 2 horas,
2\,x_1 + 2\,x_2 \le 8.
  1. Molho: cada tonelada normal consome 5 horas e cada tonelada especial consome 3 horas,
5\,x_1 + 3\,x_2 \le 15.
E as não‐negatividades:
x_1 \ge 0,\quad x_2 \ge 0.

Passo 5

Para resolver graficamente, achamos os vértices da região viável:
  • Intercepto em x_1\)-eixo: põe \(x_2=0\) em cada restrição. Da de forno \(x_1=4\), da de molho \(x_1=3\). O mais restritivo é \(x_1=3\), ponto \((3,0)\). - Intercepto em \(x_2\)-eixo: põe \(x_1=0\). Da de forno \(x_2=4\), da de molho \(x_2=5\). O mais restritivo é \(x_2=4\), ponto \((0,4)\). - Interseção das duas retas ativas: \[\begin{cases} 2x_1+2x_2=8,\\\\ 5x_1+3x_2=15. \end{cases}
Da primeira (x_2=4-x_1]. Substituindo na segunda:
5x_1+3(4-x_1)=15\quad\Rightarrow\quad5x_1+12-3x_1=15\quad\Rightarrow\quad2x_1=3\quad\Rightarrow\quad x_1=1,5,
x_2=4-1,5=2,5.
Ponto \bigl(1{,}5,2{,}5\bigr).

Passo 6

Calculamos Z em cada vértice:
Z(3,0)=120\cdot3+100\cdot0=360,
Z(0,4)=120\cdot0+100\cdot4=400,
Z\bigl(1{,}5,2{,}5\bigr)=120\cdot1{,}5+100\cdot2{,}5=180+250=430.
O maior valor é 430 em (1{,}5,2{,}5).

Resposta

Produzir 1{,}5 toneladas de aço normal e 2{,}5 toneladas de aço especial para obter o lucro máximo de $430 por dia.