8 Uma janela tem a forma de um retângulo encimado por um semicírculo. Se o perímetro da janela é de 6 m , determine as dimensões que maximizem a entrada de luz.

Passo 1

O enunciado descreve uma janela composta por um retângulo de base e altura variáveis, encimado por um semicírculo cuja base coincide com a base superior do retângulo. O perímetro total é 6 m. Queremos as dimensões que maximizem a área (entrada de luz). Usaremos otimização com restrição (derivadas).

Passo 2

Seja a a largura do retângulo (e diâmetro da semicircunferência) e b a altura do retângulo. O raio do semicírculo é r = a/2. O perímetro P inclui a base do retângulo, os dois lados verticais e o arco do semicírculo:
P = a + 2b + \pi r = a + 2b + \frac{\pi a}{2} = 6.

Passo 3

A área total A é soma da área do retângulo e da área da semicircunferência:
A = ab + \frac12\pi r^2 = ab + \frac{\pi}{2}\Bigl(\frac{a}{2}\Bigr)^2 = ab + \frac{\pi a^2}{8}.

Passo 4

Da restrição de perímetro isolamos b:
a + 2b + \frac{\pi a}{2} = 6 \quad\Longrightarrow\quad 2b = 6 - a - \frac{\pi a}{2} \quad\Longrightarrow\quad b = 3 - \frac{a}{2} - \frac{\pi a}{4}.

Passo 5

Substituindo b em A obtemos A em função de a:
A(a) = a\Bigl(3 - \tfrac{a}{2} - \tfrac{\pi a}{4}\Bigr) + \frac{\pi a^2}{8} = 3a - \frac{a^2}{2} - \frac{\pi a^2}{4} + \frac{\pi a^2}{8} = 3a - \frac{4+\pi}{8}\,a^2.

Passo 6

Para maximizar, calculamos A'(a) e igualamos a zero:
A'(a) = 3 - \frac{4+\pi}{4}\,a \quad\Longrightarrow\quad 3 - \frac{4+\pi}{4}\,a = 0 \quad\Longrightarrow\quad a = \frac{12}{4+\pi}.
Esse valor satisfaz 0<a<\tfrac{12}{2+\pi}, garantindo b>0.

Passo 7

Finalmente, calculamos b correspondente:
b = 3 - \frac{a}{2} - \frac{\pi a}{4} = 3 - \frac{12}{4+\pi}\Bigl(\frac12+\frac{\pi}{4}\Bigr) = \frac{6}{4+\pi}.

Resposta

A largura do retângulo (diâmetro do semicírculo) é
a = \frac{12}{4+\pi}\text{ m},
a altura do retângulo é
b = \frac{6}{4+\pi}\text{ m},
e o raio do semicírculo vale
r = \frac{a}{2} = \frac{6}{4+\pi}\text{ m}.