8 Uma janela tem a forma de um retângulo encimado por um semicírculo. Se o perímetro da janela é de 6 m , determine as dimensões que maximizem a entrada de luz.
Passo 1
O enunciado descreve uma janela composta por um retângulo de base e altura variáveis, encimado por um semicírculo cuja base coincide com a base superior do retângulo. O perímetro total é
m. Queremos as dimensões que maximizem a área (entrada de luz). Usaremos otimização com restrição (derivadas).
Passo 2
Seja
a largura do retângulo (e diâmetro da semicircunferência) e
a altura do retângulo. O raio do semicírculo é
. O perímetro
inclui a base do retângulo, os dois lados verticais e o arco do semicírculo:
Passo 3
A área total
é soma da área do retângulo e da área da semicircunferência:
Passo 4
Da restrição de perímetro isolamos
:
Passo 5
Substituindo
em
obtemos
em função de
:
Passo 6
Para maximizar, calculamos
e igualamos a zero:
Esse valor satisfaz
, garantindo
.
Passo 7
Finalmente, calculamos
correspondente:
Resposta
A largura do retângulo (diâmetro do semicírculo) é
a altura do retângulo é
e o raio do semicírculo vale