Marque cada afirmação como Verdadeira ou Falsa. Justifique cada resposta. Suponha que todas as matrizes aqui sejam quadradas.
Se A for uma matriz 2 \times 2 com determinante zero, então uma coluna de A será um múltiplo da outra.

Passo 1

O enunciado diz que A é uma matriz 2\times2 com \det(A)=0 e pergunta se isso implica que uma coluna de A é múltiplo da outra. O conteúdo é dependência linear em \mathbb{R}^2 e a relação entre determinante e independência de colunas.

Passo 2

Escrevemos
A = \begin{pmatrix}a & b\\[6pt] c & d\end{pmatrix},
com primeira coluna v=(a,c) e segunda coluna w=(b,d). O determinante vale
\det(A)=ad - bc.]

Passo 3

Como \det(A)=0, temos
ad - bc = 0 \quad\Longrightarrow\quad ad = bc.
Se v=(a,c)=0, isto é, a=c=0, então v=0\cdot w e portanto v é múltiplo de w. Caso contrário, pelo menos uma de a ou c é não nula, digamos a\neq0. Da igualdade ad=bc vem
\frac{b}{a} = \frac{d}{c}\quad(\text{se }c\neq0) \quad\text{o u}\quad b = \frac{d\,a}{c}\quad(\text{se }c\neq0).
Em ambos os casos isso mostra que existe \lambda\in\mathbb{R} tal que w=\lambda v.

Passo 4

Concluímos que, sempre que \det(A)=0, as colunas de A são linearmente dependentes, ou seja, uma é múltiplo escalar da outra.

Resposta

Verdadeira.