Marque cada afirmação como Verdadeira ou Falsa. Justifique cada resposta. Suponha que todas as matrizes aqui sejam quadradas.
Se
for uma matriz
com determinante zero, então uma coluna de
será um múltiplo da outra.
Se
Passo 1
O enunciado diz que
é uma matriz
com
e pergunta se isso implica que uma coluna de
é múltiplo da outra. O conteúdo é dependência linear em
e a relação entre determinante e independência de colunas.
Passo 2
Escrevemos
com primeira coluna
e segunda coluna
. O determinante vale
Passo 3
Como
, temos
Se
, isto é,
, então
e portanto
é múltiplo de
. Caso contrário, pelo menos uma de
ou
é não nula, digamos
. Da igualdade
vem
Em ambos os casos isso mostra que existe
tal que
.
Passo 4
Concluímos que, sempre que
, as colunas de
são linearmente dependentes, ou seja, uma é múltiplo escalar da outra.
Resposta
Verdadeira.