Se uma matriz ortogonal é triangular, prove que ela é diagonal e seu quadrado é igual à matriz identidade.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que uma matriz ortogonal e triangular deve ser diagonal, e que seu quadrado é a matriz identidade. Vamos usar conceitos de matrizes ortogonais (ou seja, satisfazendo
), ortonormalidade das colunas e a estrutura triangular.
Passo 2
Considere
ortogonal e triangular. Sem perda de generalidade, suponha que
seja triangular superior (o caso inferior funciona do mesmo jeito). Logo temos
e cada vetor-coluna de
só pode ter entradas possivelmente não nulas acima ou na diagonal.
Passo 3
Como
é ortogonal, as colunas formam um sistema ortonormal. Vamos provar por indução em
que a
-ésima coluna tem apenas o elemento
possivelmente não nulo, e que
.
Passo 4
Caso base (
): a primeira coluna é
por triangularidade. Da norma
vem
.
Passo 5
Passo indutivo: assuma que para todas as colunas até
vale
com
. A ortogonalidade entre coluna
e coluna
exige
como
, segue
para todo
. A triangularidade superior também dá
para
. Logo só resta
, e pela normalização
obtemos
.
Passo 6
Concluímos que
ou seja,
é diagonal com entradas
.
Passo 7
Como uma matriz diagonal com entradas
satisfaz imediatamente
antese resultando no quadrado sendo a identidade.
Resposta
A é diagonal com entradas ±1 e satisfaz
.