Se uma matriz ortogonal é triangular, prove que ela é diagonal e seu quadrado é igual à matriz identidade.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que uma matriz ortogonal e triangular deve ser diagonal, e que seu quadrado é a matriz identidade. Vamos usar conceitos de matrizes ortogonais (ou seja, satisfazendo A^T A = I), ortonormalidade das colunas e a estrutura triangular.

Passo 2

Considere Ain R^ntimes n ortogonal e triangular. Sem perda de generalidade, suponha que A seja triangular superior (o caso inferior funciona do mesmo jeito). Logo temos A^T A = I e cada vetor-coluna de A só pode ter entradas possivelmente não nulas acima ou na diagonal.

Passo 3

Como A é ortogonal, as colunas formam um sistema ortonormal. Vamos provar por indução em j=1,2,dots,n que a j-ésima coluna tem apenas o elemento Ajj possivelmente não nulo, e que Ajj^2=1.

Passo 4

Caso base ( j=1): a primeira coluna é (A11,0,0,dots,0)^T por triangularidade. Da norma |coluna 1|^2 = A11^2 = 1 vem A11=pm1.

Passo 5

Passo indutivo: assuma que para todas as colunas até j-1 vale coluna k = Akkek com Akk=pm1. A ortogonalidade entre coluna k e coluna j exige
lang<= coluna k,coluna jrang<= = Akk,Akj = 0
como Akkneq0, segue Akj=0 para todo k. A triangularidade superior também dá Aij=0 para i>j. Logo só resta Ajjneq0, e pela normalização Ajj^2=1 obtemos Ajj=pm1.

Passo 6

Concluímos que
A=diag(varepsilon1,dots,varepsilonn),varepsiloni=pm1,
ou seja, A é diagonal com entradas pm1.

Passo 7

Como uma matriz diagonal com entradas pm1 satisfaz imediatamente
A^2 = diag(varepsilon1^2,dots,varepsilonn^2) = I,
antese resultando no quadrado sendo a identidade.

Resposta

A é diagonal com entradas ±1 e satisfaz A^2 = I.