Para a matriz de transição P=[ll0,4 & 0,5 0,6 & 0,5]
(a) calcule x^(n) para n=1,2,3,4,5, se x^(0)=[l1 0];
(b) enuncie por que P é regular e encontre seu vetor de estado estacionário.

Passo 1

O enunciado trata de uma cadeia de Markov com matriz de transição coluna–estocástica
P = 0,4 & 0,5 0,6 & 0,5 ,
onde as colunas somam 1. Queremos, a partir de x^(0)=10, calcular
x^(n)=P,x^(n-1) para n=1,2,3,4,5. Em seguida, vamos mostrar que P é regular e obter seu vetor de estado estacionário pi, isto é, o vetor satisfazendo pi = P,pi e sumi pii=1.

Passo 2

Aplicamos a definição
x^(n) = P,x^(n-1)
Para n=1,
x^(1) ;=; P,x^(0) ;=; 0,4 & 0,5 0,6 & 0,5 10 = 0,4 0,6

Passo 3

Repetimos a multiplicação para n=2,3,4,5:
x^(2) = P,x^(1) = 0,4cdot0,4 + 0,5cdot0,6 0,6cdot0,4 + 0,5cdot0,6 = 0,46 0,54 , x^(3) = 0,4cdot0,46 + 0,5cdot0,54 0,6cdot0,46 + 0,5cdot0,54 = 0,454 0,546
Seguindo,
x^(4) = 0,4546 0,5454 , x^(5) = 0,45454 0,54546

Passo 4

Uma matriz de transição é dita regular se existe algum k tal que todas as entradas de P^k sejam estritamente positivas. Calculando
P^2 = 0,46 & 0,45 0,54 & 0,55 ,
vemos que todas as quatro entradas são >0. Logo P é regular.

Passo 5

O vetor de estado estacionário pi=(pi1,pi2)^top satisfaz
pi = P,pi, pi1 + pi2 = 1
Da primeira coordenada vem
pi1 = 0,4,pi1 + 0,5,pi2 ;Longrightarrow; 0,6,pi1 = 0,5,pi2 ;Longrightarrow; pi2 = 0,60,5,pi1 = 1,2,pi1
Como pi1+pi2=1, temos 2,2,pi1=1, então
pi1 = 12,2approx 0,45455, pi2 = 1 - pi1 approx 0,54545

Resposta

x^(1) = 0,40,6,; x^(2) = 0,460,54,; x^(3) = 0,4540,546,; x^(4) = 0,45460,5454,; x^(5) = 0,454540,54546
P é regular porque P^2 tem todas entradas positivas, e o vetor estacionário é
pi = 0,454550,54545