Mostre que existem infinitas classes laterais de
em
.
Passo 1
Estamos trabalhando com o grupo aditivo
e seu subgrupo
. Queremos mostrar que o índice de
em
é infinito, isto é, que existem infinitas classes laterais de
em
.
Passo 2
Para cada
, a sua classe lateral (pelo lado esquerdo, mas o mesmo vale para o direito em grupos abelianos) é
Essa classe agrupa todos os complexos que diferem de
por um real.
Passo 3
Escrevendo
com
, temos
pois
. Logo cada coset é determinado apenas pela parte imaginária
.
Passo 4
Mostramos que, para
, as duas classes
são distintas. Se por absurdo
, então
Mas
é puramente imaginário, e a interseção
vale apenas
. Logo
, o que implica
. Contradição.
Passo 5
Como
varia em infinitos valores, obtemos infinitas classes laterais distintas
.
Resposta
Existem infinitas classes laterais de
em
.