Mostre que existem infinitas classes laterais de R em C.

Passo 1

Estamos trabalhando com o grupo aditivo C e seu subgrupo R. Queremos mostrar que o índice de R em C é infinito, isto é, que existem infinitas classes laterais de R em C.

Passo 2

Para cada zinC, a sua classe lateral (pelo lado esquerdo, mas o mesmo vale para o direito em grupos abelianos) é
z + R ;=;,z + r mid rinR
Essa classe agrupa todos os complexos que diferem de z por um real.

Passo 3

Escrevendo z = x + i,y com x,yinR, temos
z + R = (x + i,y) + R = i,y ;+;l(x + Rr) = i,y + R,
pois x+R=R. Logo cada coset é determinado apenas pela parte imaginária y.

Passo 4

Mostramos que, para yneq y', as duas classes
i,y + R e i,y' + R
são distintas. Se por absurdo i,y + R = i,y' + R, então
i,y - i,y' ;=; i,(y - y') ;in;R
Mas i,(y-y') é puramente imaginário, e a interseção Rcap i,R vale apenas 0. Logo i,(y-y')=0, o que implica y=y'. Contradição.

Passo 5

Como yinR varia em infinitos valores, obtemos infinitas classes laterais distintas i,y+R.

Resposta

Existem infinitas classes laterais de R em C.