Ex. 86 - Mostre que a inversa de uma matriz diagonal, se existir, é também diagonal.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se uma matriz diagonal DinR^ntimes n for invertível, então a sua inversa D^-1 também é diagonal. O conteúdo principal envolve a definição de matriz diagonal, a condição de invertibilidade (multiplicação de matrizes) e a resolução da equação
D,X = In
para encontrar X = D^-1.

Passo 2

Escrevemos a matriz diagonal
Para (D] ser invertível, é necessário e suficiente que cada elemento da diagonal principal seja não nulo:

Passo 3

Suponha que exista uma matriz X=(xij) tal que
D,X = In
O produto de matrizes nos dá, para cada par de índices i,j,
(DX)ij = sumk=1^n dik,xkj
Mas, como D é diagonal, só o termo com k=i sobrevive, ou seja,
(DX)ij = dii,xij

Passo 4

Para que
onde
Logo, para cada (i,j] temos a equação

Passo 5

Dessa equação seguem dois casos:
  1. Se i=j, então dii,xii = 1 implies xii = 1dii
  2. Se ineq j, então dii,xij = 0 implies xij = 0
Portanto, todos os elementos fora da diagonal de X são zero, e os da diagonal principal são 1/dii.

Resposta

A inversa D^-1 existe se e somente se diineq0 para todo i, e nesse caso
D^-1 = diagl(tfrac1d11,tfrac1d22,dots,tfrac1dnnr),
ou seja, D^-1 também é matriz diagonal.