Ex. 86 - Mostre que a inversa de uma matriz diagonal, se existir, é também diagonal.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se uma matriz diagonal for invertível, então a sua inversa também é diagonal. O conteúdo principal envolve a definição de matriz diagonal, a condição de invertibilidade (multiplicação de matrizes) e a resolução da equação
para encontrar .
Passo 2
Escrevemos a matriz diagonal
Para (D] ser invertível, é necessário e suficiente que cada elemento da diagonal principal seja não nulo:
Passo 3
Suponha que exista uma matriz tal que
O produto de matrizes nos dá, para cada par de índices ,
Mas, como é diagonal, só o termo com sobrevive, ou seja,
Passo 4
Para que
onde
Logo, para cada (i,j] temos a equação
Passo 5
Dessa equação seguem dois casos:
Se i=j, então dii,xii = 1 implies xii = 1dii
Se ineq j, então dii,xij = 0 implies xij = 0
Portanto, todos os elementos fora da diagonal de X são zero, e os da diagonal principal são 1/dii.
Resposta
A inversa D^-1 existe se e somente se diineq0 para todo i, e nesse caso