Mostre que as matrizes e abaixo são L.I.:

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as matrizes a,b,c em M2times2(R) são linearmente independentes. O conteúdo principal é o conceito de independência linear, que exige usar a definição de combinação linear igual à matriz nula e verificar que a única solução é trivial.

Passo 2

Uma família de vetores (ou matrizes) é linearmente independente se, na combinação lambdaa+mub+nuc=0, a única solução para os escalares é lambda=mu=nu=0. Vamos assumir que vamos escrever a combinação linear, e temos:
lambda a + mu b + nu c = lambda 1&10&0 + mu 1&00&1 + nu 1&11&1 = lambda+mu+nu & lambda+nu 0+0+nu & 0+mu+nu

Passo 3

Igualando essa soma à matriz nula, obtemos o sistema de equações em lambda,mu,nu:
lambda+mu+nu=0, lambda+nu=0, nu=0, mu+nu=0

Passo 4

Da terceira equação vem nu=0. Substituindo em lambda+nu=0 lambda=0, e em mu+nu=0 mu=0. Logo, a única solução é trivial.

Resposta

As matrizes são linearmente independentes, pois a única combinação linear que gera a matriz nula é trivial ( lambda=mu=nu=0).

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