Ex. 1 - Mostre que (0,1, oplus) é um grupo.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que o conjunto 0,1, munido da operação “ou exclusivo” (XOR), que denotamos por oplus, satisfaz todos os axiomas de um grupo. Vamos lembrar que, para ser um grupo, devemos verificar:
  1. Fechamento: xoplus yin0,1 sempre que x,yin0,1.
  2. Existência de elemento neutro e tal que eoplus x = xoplus e = x.
  3. Existência de inverso de cada elemento: para todo x existe x^-1 com xoplus x^-1=e.
  4. Associatividade: (xoplus y)oplus z = xoplus(yoplus z) para todos x,y,z.

Passo 2

Fechamento. Vejamos todas as combinações possíveis de oplus em 0,1:
0oplus 0 = 0, 0oplus 1 = 1, 1oplus 0 = 1, 1oplus 1 = 0
Como o resultado de cada operação está sempre em 0,1, a operação é fechada.

Passo 3

Elemento neutro. Se oplus é XOR, então
0oplus x = xe xoplus 0 = x
para x=0 ou 1. Logo, o neutro é e=0.

Passo 4

Inversos. Queremos xoplus x^-1=0. Note que
0oplus 0 = 0 e 1oplus 1 = 0
Portanto cada elemento é o seu próprio inverso: 0^-1=0 e 1^-1=1.

Passo 5

Associatividade. Observe que, para x,yin0,1,
xoplus y ;=;(x+y)bmod 2
Como a adição de inteiros módulo 2 é associativa, segue que
(xoplus y)oplus z = l((x+y)bmod 2 + zr)bmod 2 = (x + (y+z)bmod 2)bmod 2 = xoplus(yoplus z)

Passo 6

Como mostramos fechamento, existência de neutro, inversos e associatividade, concluímos que (0,1,oplus) é um grupo. Além disso, oplus é comutativa (pela simetria na definição), então é um grupo abeliano.

Resposta

Concluímos que (0,1,oplus) é um grupo abeliano.