Ex. 1 - Mostre que
é um grupo.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que o conjunto
, munido da operação “ou exclusivo” (XOR), que denotamos por
, satisfaz todos os axiomas de um grupo. Vamos lembrar que, para ser um grupo, devemos verificar:
- Fechamento:
sempre que . - Existência de elemento neutro
tal que . - Existência de inverso de cada elemento: para todo
existe com . - Associatividade:
para todos .
Passo 2
Fechamento. Vejamos todas as combinações possíveis de
em
:
Como o resultado de cada operação está sempre em
, a operação é fechada.
Passo 3
Elemento neutro. Se
é XOR, então
para
ou
. Logo, o neutro é
.
Passo 4
Inversos. Queremos
. Note que
Portanto cada elemento é o seu próprio inverso:
e
.
Passo 5
Associatividade. Observe que, para
,
Como a adição de inteiros módulo 2 é associativa, segue que
Passo 6
Como mostramos fechamento, existência de neutro, inversos e associatividade, concluímos que
é um grupo. Além disso,
é comutativa (pela simetria na definição), então é um grupo abeliano.
Resposta
Concluímos que
é um grupo abeliano.