Mostre que qualquer matriz 3 \times 3 da forma
\left(\begin{array}{lll} a & 1 & 0 \\\\ 0 & a & 1 \\\\ 0 & 0 & b \end{array}\right)
não é diagonalizável.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que qualquer matriz
A = \begin{pmatrix} a & 1 & 0\\\\ 0 & a & 1\\\\ 0 & 0 & b \end{pmatrix}
não é diagonalizável. O conteúdo que vamos usar é o critério de diagonalização: uma matriz n\times n é diagonalizável se, e somente se, para cada autovalor \lambda a multiplicidade geométrica (dimensão do espaço próprio \ker(A-\lambda I)) for igual à sua multiplicidade algébrica (multiplicidade de \lambda no polinômio característico).

Passo 2

Como A é triangular superior, seus autovalores são exatamente os elementos da diagonal. Logo o polinômio característico é
\chi_A(\lambda)=\det(A-\lambda I) =(a-\lambda)^2\,(b-\lambda).
Dessa forma \lambda=a é autovalor com multiplicidade algébrica 2 e \lambda=b tem multiplicidade algébrica 1.

Passo 3

Vamos calcular o espaço próprio associado a \lambda=a\). Temos \[A - aI = \begin{pmatrix} a & 1 & 0\\\\ 0 & a & 1\\\\ 0 & 0 & b \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} a & 0 & 0\\\\ 0 & a & 0\\\\ 0 & 0 & a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 0 & b - a \end{pmatrix}.
Para x=(x_1,x_2,x_3)^T\in\ker(A-aI) temos as equações
\begin{cases} x_2 = 0,\\\ x_3 = 0,\\\ (b - a)\,x_3 = 0. \end{cases}
As duas primeiras dão x_2=0\] e \(x_3=0, sem restrição em x_1. Logo
\dim\ker(A-aI)=1.

Passo 4

Comparando as multiplicidades do autovalor \lambda=a:
– multiplicidade algébrica =2,
– multiplicidade geométrica =1.
Como faltam autovetores para \lambda=a, a matriz A não pode ser diagonalizável.

Resposta

A matriz não é diagonalizável.