\left(\begin{array}{lll} a & 1 & 0 \\\\ 0 & a & 1 \\\\ 0 & 0 & b \end{array}\right)
não é diagonalizável.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que qualquer matriz
A = \begin{pmatrix} a & 1 & 0\\\\ 0 & a & 1\\\\ 0 & 0 & b \end{pmatrix}
não é diagonalizável. O conteúdo que vamos usar é o critério de diagonalização: uma matriz n\times n é diagonalizável se, e somente se, para cada autovalor \lambda a multiplicidade geométrica (dimensão do espaço próprio \ker(A-\lambda I)) for igual à sua multiplicidade algébrica (multiplicidade de \lambda no polinômio característico).
Passo 2
Como A é triangular superior, seus autovalores são exatamente os elementos da diagonal. Logo o polinômio característico é
As duas primeiras dão x_2=0\] e \(x_3=0, sem restrição em x_1. Logo
\dim\ker(A-aI)=1.
Passo 4
Comparando as multiplicidades do autovalor \lambda=a:
– multiplicidade algébrica =2,
– multiplicidade geométrica =1.
Como faltam autovetores para \lambda=a, a matriz A não pode ser diagonalizável.
Resposta
A matriz não é diagonalizável.
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Steven J - Álgebra Linear com Aplicações - 4ª Edição - Capítulo 6.Exercícios - Ex. 7