Mostre que se 0,1, a, b, c são números dois a dois diferentes então os vetores e são linearmente independentes. Generalize.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se 0, 1, a, b, c são números dois a dois diferentes, então os vetores (1,1,1,1), (a,a²,a³,a⁴), (b,b²,b³,b⁴) e (c,c²,c³,c⁴) em ℝ⁴ são linearmente independentes. O conteúdo aqui é independência linear de vetores e vamos usar a ideia de determinante de Vandermonde.

Passo 2

Vamos montar a matriz 4×4 cujas colunas são os vetores dados. Ou seja, definimos
M= 1 & a & b & c 1 & a² & b² & c² 1 & a³ & b³ & c³ 1 & a⁴ & b⁴ & c⁴ ²²²³³³
Se det(M) ≠ 0, então as colunas (ou linhas) de M são linearmente independentes.

Passo 3

Reconhecemos que M é uma matriz de Vandermonde “esticada” (às vezes chamamos de Vandermonde com potências de 0 até 3 na primeira linha). A fórmula geral do determinante de uma matriz de Vandermonde com entradas t₁,…,t₄ nas colunas é
det M = prod1<= i
No nosso caso usamos t₁=1, t₂=a, t₃=b, t₄=c.

Passo 4

Aplicando a fórmula, obtemos
det M=(a-1)(b-1)(c-1)(b-a)(c-a)(c-b)
Como 1, a, b, c são todos distintos, cada fator é não nulo, logo det(M) ≠ 0.

Passo 5

Como det(M) ≠ 0, concluímos que as colunas de M — isto é, os vetores (1,1,1,1), (a,a²,a³,a⁴), (b,b²,b³,b⁴) e (c,c²,c³,c⁴) — são linearmente independentes.

Passo 6

Generalização: Se t₁,…,t_{n+1} são n+1 números dois a dois distintos, consideramos os n+1 vetores em ℝ^{n+1}
vi = (1, ti, ti^2,dots,ti^n), i=1,2,dots,n+1
A matriz formada por esses vetores é uma matriz de Vandermonde de tamanho (n+1)×(n+1) e seu determinante vale
det V = prod1<= i
Logo esses vetores são linearmente independentes.

Resposta

Como o determinante da matriz de Vandermonde associada é o produto dos termos (t_j - t_i), que é não nulo quando os t_i são todos distintos, os vetores são linearmente independentes. A generalização para n+1 vetores em ℝ^{n+1} vindos de n+1 valores distintos t_i também segue por essa mesma fórmula do determinante de Vandermonde.