Mostre que se
, c são números dois a dois diferentes então os vetores
e
são linearmente independentes. Generalize.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se 0, 1, a, b, c são números dois a dois diferentes, então os vetores (1,1,1,1), (a,a²,a³,a⁴), (b,b²,b³,b⁴) e (c,c²,c³,c⁴) em ℝ⁴ são linearmente independentes. O conteúdo aqui é independência linear de vetores e vamos usar a ideia de determinante de Vandermonde.
Passo 2
Vamos montar a matriz 4×4 cujas colunas são os vetores dados. Ou seja, definimos
Se det(M) ≠ 0, então as colunas (ou linhas) de M são linearmente independentes.
Passo 3
Reconhecemos que M é uma matriz de Vandermonde “esticada” (às vezes chamamos de Vandermonde com potências de 0 até 3 na primeira linha). A fórmula geral do determinante de uma matriz de Vandermonde com entradas t₁,…,t₄ nas colunas é
No nosso caso usamos t₁=1, t₂=a, t₃=b, t₄=c.
Passo 4
Aplicando a fórmula, obtemos
Como 1, a, b, c são todos distintos, cada fator é não nulo, logo det(M) ≠ 0.
Passo 5
Como det(M) ≠ 0, concluímos que as colunas de M — isto é, os vetores (1,1,1,1), (a,a²,a³,a⁴), (b,b²,b³,b⁴) e (c,c²,c³,c⁴) — são linearmente independentes.
Passo 6
Generalização: Se t₁,…,t_{n+1} são n+1 números dois a dois distintos, consideramos os n+1 vetores em ℝ^{n+1}
A matriz formada por esses vetores é uma matriz de Vandermonde de tamanho (n+1)×(n+1) e seu determinante vale
Logo esses vetores são linearmente independentes.
Resposta
Como o determinante da matriz de Vandermonde associada é o produto dos termos (t_j - t_i), que é não nulo quando os t_i são todos distintos, os vetores são linearmente independentes. A generalização para n+1 vetores em ℝ^{n+1} vindos de n+1 valores distintos t_i também segue por essa mesma fórmula do determinante de Vandermonde.