1 O número de bactérias em uma cultura aumenta de 5.000 para 15.000 em 10 horas. Supondo que a taxa de aumento seja proporcional ao número de bactérias presentes, estabeleça uma fórmula para o número de bactérias na cultura no instante
. Estime o número no término de 20 horas. Quando será 50.000 o número de bactérias?
Passo 1
O enunciado diz que o número de bactérias cresce de
para
em
horas e que a taxa de crescimento é proporcional ao número presente. O conteúdo é modelo de crescimento exponencial, cuja solução geral vem da equação diferencial
. Vamos:
- Determinar a constante
usando o dado de h. - Escrever a fórmula
. - Calcular
. - Achar
tal que .
Passo 2
A solução geral de
com
é
Aqui
, logo
Passo 3
Usamos
:
Passo 4
Substituindo
em
, obtemos
Passo 5
Para
horas,
Passo 6
Queremos
. Então
Resposta
Fórmula:
.
Estimativa em h:
.
Hora em que chega a bactérias:
h.
Estimativa em
Hora em que chega a