1 O número de bactérias em uma cultura aumenta de 5.000 para 15.000 em 10 horas. Supondo que a taxa de aumento seja proporcional ao número de bactérias presentes, estabeleça uma fórmula para o número de bactérias na cultura no instante t. Estime o número no término de 20 horas. Quando será 50.000 o número de bactérias?

Passo 1

O enunciado diz que o número de bactérias cresce de 5\,000 para 15\,000 em 10 horas e que a taxa de crescimento é proporcional ao número presente. O conteúdo é modelo de crescimento exponencial, cuja solução geral vem da equação diferencial \frac{dN}{dt}=kN. Vamos:
  1. Determinar a constante k usando o dado de t=10 h.
  2. Escrever a fórmula N(t).
  3. Calcular N(20).
  4. Achar t tal que N(t)=50\,000.

Passo 2

A solução geral de \frac{dN}{dt}=kN com N(0)=N_0 é
N(t)=N_0\,e^{kt}.
Aqui N_0=5000, logo
N(t)=5000\,e^{kt}.

Passo 3

Usamos N(10)=15000:
15000=5000\,e^{10k} \quad\Longrightarrow\quad 3=e^{10k} \quad\Longrightarrow\quad k=\frac{\ln(3)}{10}.

Passo 4

Substituindo k em N(t), obtemos
N(t)=5000\,e^{\bigl(\frac{\ln(3)}{10}\bigr)\,t} =5000\cdot 3^{\frac t{10}}.

Passo 5

Para t=20 horas,
N(20)=5000\cdot 3^{\frac{20}{10}} =5000\cdot 3^2 =5000\cdot 9 =45000.

Passo 6

Queremos N(t)=50000. Então
50000=5000\,e^{\bigl(\frac{\ln(3)}{10}\bigr)t} \;\Longrightarrow\; 10=e^{\bigl(\frac{\ln(3)}{10}\bigr)t} \;\Longrightarrow\; \ln(10)=\frac{\ln(3)}{10}\,t \;\Longrightarrow\; t=\frac{10\,\ln(10)}{\ln(3)}\approx20{,}96\text{ horas}.

Resposta

Fórmula: \displaystyle N(t)=5000\cdot3^{t/10}.
Estimativa em 20 h: N(20)=45000.
Hora em que chega a 50000 bactérias: t\approx20{,}96 h.