Obtenha números a, b, c, d tais que a variedade afim (plano) de R^3 definida pela equação a x+b y+c z=d contenha os pontos e1=(1,0,0), e2=(0,1,0) e e3=(0,0,1).

Passo 1

O enunciado pede para determinar constantes a, b, c, d tais que o plano de ℝ³ dado por ax + by + cz = d contenha os pontos e₁=(1,0,0), e₂=(0,1,0) e e₃=(0,0,1). O conteúdo é geometria analítica de planos e vamos precisar impor cada ponto na equação geral do plano.

Passo 2

Para cada ponto temos uma equação. Substituindo e₁=(1,0,0) em ax + by + cz = d, obtemos:
acdot 1 + bcdot 0 + ccdot 0 = d implies a = d

Passo 3

Substituindo e₂=(0,1,0) obtemos:
acdot 0 + bcdot 1 + ccdot 0 = d implies b = d

Passo 4

E para e₃=(0,0,1) obtemos:
acdot 0 + bcdot 0 + ccdot 1 = d implies c = d

Passo 5

Daí concluímos que a = b = c = d, isto é, todos os coeficientes são iguais. O conjunto de soluções é dado por (a,b,c,d)=(k,k,k,k), k≠0.

Passo 6

Para escolher uma solução simples, basta tomar k=1. A equação do plano fica x + y + z = 1, o que corresponde a a = b = c = d = 1.

Resposta

a = 1, b = 1, c = 1, d = 1