Obtenha números
tais que a variedade afim (plano) de
definida pela equação
contenha os pontos
e
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar constantes a, b, c, d tais que o plano de ℝ³ dado por ax + by + cz = d contenha os pontos e₁=(1,0,0), e₂=(0,1,0) e e₃=(0,0,1). O conteúdo é geometria analítica de planos e vamos precisar impor cada ponto na equação geral do plano.
Passo 2
Para cada ponto temos uma equação. Substituindo e₁=(1,0,0) em ax + by + cz = d, obtemos:
Passo 3
Substituindo e₂=(0,1,0) obtemos:
Passo 4
E para e₃=(0,0,1) obtemos:
Passo 5
Daí concluímos que a = b = c = d, isto é, todos os coeficientes são iguais. O conjunto de soluções é dado por (a,b,c,d)=(k,k,k,k), k≠0.
Passo 6
Para escolher uma solução simples, basta tomar k=1. A equação do plano fica x + y + z = 1, o que corresponde a a = b = c = d = 1.