10 Uma página de livro deve ter uma área de
, com margens de
em baixo e dos lados e
cima. Determine as dimensões da página com maior área impressa.
Passo 1
O enunciado pede para determinar as dimensões de uma página de modo que a área total seja
,cm
e a área impressa (descontadas as margens de 2,5,cm nos lados e embaixo e 1,25,cm em cima) seja máxima. O conteúdo envolve otimização de uma função sujeita a uma restrição, usando derivadas.
Passo 2
Sejam
e
a largura e a altura da página. A restrição de área total é
As margens reduzem a região impressa a uma largura
e a uma altura
. Logo a área impressa é
Passo 3
Usamos
na expressão de
para obter uma função de uma única variável:
Expandindo e simplificando, encontra-se
Passo 4
Para maximizar
calculamos a derivada e igualamos a zero:
Passo 5
Da condição
segue
Passo 6
Em seguida
Passo 7
Verifica-se que
, confirmando que esse ponto crítico é um máximo para a área impressa.
Resposta
A largura da página deve ser aproximadamente
,cm e a altura aproximadamente
,cm.