10 Uma página de livro deve ter uma área de 580 \mathrm{~cm}^{2}, com margens de 2,5 \mathrm{~cm} em baixo e dos lados e 1,25 \mathrm{~cm} \mathrm{em} cima. Determine as dimensões da página com maior área impressa.

Passo 1

O enunciado pede para determinar as dimensões de uma página de modo que a área total seja 580,cm ^2 e a área impressa (descontadas as margens de 2,5,cm nos lados e embaixo e 1,25,cm em cima) seja máxima. O conteúdo envolve otimização de uma função sujeita a uma restrição, usando derivadas.

Passo 2

Sejam w e h a largura e a altura da página. A restrição de área total é
w\,h = 580.
As margens reduzem a região impressa a uma largura w_p = w - 2(2,5) = w - 5 e a uma altura h_p = h - (1,25 + 2,5) = h - 3,75. Logo a área impressa é
A = w_p\,h_p = (w - 5)\,(h - 3,75).

Passo 3

Usamos h = 580/w na expressão de A para obter uma função de uma única variável:
A(w) = (w - 5)\Bigl(\frac{580}{w} - 3,75\Bigr).
Expandindo e simplificando, encontra-se
A(w) = 598,75 - 3,75\,w - \frac{2900}{w}.

Passo 4

Para maximizar A(w) calculamos a derivada e igualamos a zero:
A'(w) = -3,75 + \frac{2900}{w^2} = 0.

Passo 5

Da condição A'(w)=0 segue
w^2 = \frac{2900}{3,75} = \frac{11600}{15}, \qquad w = \sqrt{\frac{11600}{15}} \approx 27,80\text{ cm}.

Passo 6

Em seguida
h = \frac{580}{w} \approx \frac{580}{27,80} \approx 20,86\text{ cm}.

Passo 7

Verifica-se que A''(w) = -2\cdot2900/w^3<0, confirmando que esse ponto crítico é um máximo para a área impressa.

Resposta

A largura da página deve ser aproximadamente 27,80,cm e a altura aproximadamente 20,86,cm.