Prove que o conjunto das formas quadráticas no espaço vetorial E é um subespaço vetorial Q(E) subset F(E ; R) Sedim E=n, prove que dim Q(E)=n(n+1) / 2.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto Q(E) das formas quadráticas num espaço vetorial real E de dimensão n é um subespaço de F(E;\mathbb{R}), e que essa família tem dimensão n(n+1)/2.
Uma forma quadrática Q em E é uma aplicação Q\colon E\to\mathbb{R} que pode ser escrita como Q(x)=b(x,x), onde b é uma forma bilinear simétrica. Logo cada Q\in Q(E) corresponde a um b simétrico, e vice-versa.

Passo 2

Para provar que Q(E) é subespaço, basta verificar que a soma e o produto escalar de formas quadráticas continuam quadráticas: se Q_1(x)=b_1(x,x) e Q_2(x)=b_2(x,x), então
(Q1+Q2)(x) = b1(x,x) + b2(x,x) = (b1+b2)(x,x),
(c,Q1)(x) = c,b1(x,x) = (c,b1)(x,x)
Como b_1+b_2 e c,b_1 são bilineares simétricas, Q_1+Q_2 e c,Q_1 estão em Q(E). Além disso o zero (forma identicamente nula) está em Q(E). Logo Q(E) é subespaço.

Passo 3

Para calcular a dimensão de Q(E), escolhemos uma base e1,dots,en de E e coordenadas x=(x_1,\dots,x_n). Qualquer forma quadrática se escreve como
Q(x)=sumi,j=1^n aij,xi,xj,
em que a matriz A=(a_{ij}) é simétrica (a_{ij}=a_{ji}). Os coeficientes independentes são então os aii (n deles) e os aij com i<j (n(n-1)/2 deles), totalizando n + n(n-1)/2 = n(n+1)/2 parâmetros livres.
Portanto Q(E) é isomorfo ao espaço das matrizes simétricas de ordem n, cuja dimensão é n(n+1)/2.

Resposta

dim Q(E)=n(n+1)2.