Prove que o módulo do determinante de um operador invertível é igual ao produto dos seus valores singulares.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para um operador linear invertível A em um espaço vetorial de dimensão finita, o valor absoluto do determinante de A é igual ao produto de seus valores singulares. Vamos usar teoria de valores singulares e propriedades de determinantes.

Passo 2

A teoria de decomposição em valores singulares (SVD) diz que qualquer matriz invertível AinC^ntimes n pode ser escrita como
A = U,Sigma,V^*
onde
  • U e V são matrizes unitárias (ou ortogonais, no caso real),
  • Sigma é diagonal com entradas positivas sigma1,dots,sigman, que são justamente os valores singulares de A.
    Aqui usamos que valores singulares são as raízes quadradas dos autovalores de A^*A, e que A invertível implica sigmai>0 para todo i.

Passo 3

Aplicando determinante à fatoração A=USigma V^* e usando que det(XY)=det(X)det(Y), obtemos
det(A)=det(U),det(Sigma),det(V^*)
Como U e V são unitários, valem |det(U)|=1 e |det(V^*)|=|det(V)|=|det(V)|=1.

Passo 4

Portanto o módulo de det(A) fica
|det(A)| = |det(Sigma)| = prodi=1^nsigmai
já que det(Sigma) é simplesmente o produto dos elementos diagonais sigma1cdotssigman.

Resposta

|det(A)| = \prod_{i=1}^n \sigma_i