Prove que o módulo do determinante de um operador invertível é igual ao produto dos seus valores singulares.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para um operador linear invertível em um espaço vetorial de dimensão finita, o valor absoluto do determinante de é igual ao produto de seus valores singulares. Vamos usar teoria de valores singulares e propriedades de determinantes.
Passo 2
A teoria de decomposição em valores singulares (SVD) diz que qualquer matriz invertível pode ser escrita como
onde
e são matrizes unitárias (ou ortogonais, no caso real),
é diagonal com entradas positivas , que são justamente os valores singulares de .
Aqui usamos que valores singulares são as raízes quadradas dos autovalores de , e que invertível implica para todo .
Passo 3
Aplicando determinante à fatoração e usando que , obtemos
Como e são unitários, valem e .
Passo 4
Portanto o módulo de det(A) fica
|det(A)| = |det(Sigma)| = prodi=1^nsigmai
já que det(Sigma) é simplesmente o produto dos elementos diagonais sigma1cdotssigman.
Resposta
|det(A)| = \prod_{i=1}^n \sigma_i
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Elon Lages Lima - Algebra Linear - Elon Lages Lima - Algebra Linearª Edição - Capítulo 20.Exercícios - Ex. 20.14