Prove que o segmento ligando um vértice de um polígono regular ao centro do círculo em que ele esta inscrito é bissetriz do ângulo daquele vértice.
Passo 1
Vamos considerar um polígono regular inscrito em um círculo de centro
. Sejam
um vértice qualquer e
e
seus vértices vizinhos. O objetivo é mostrar que o segmento
divide o ângulo interno
exatamente ao meio, ou seja, que
Passo 2
Como o polígono é regular, todos os seus lados têm o mesmo comprimento. Logo,
Além disso, em qualquer circunferência todos os raios são iguais, portanto
Por fim,
é comum aos dois triângulos
e
. Assim, nesses dois triângulos temos
ou seja, três lados correspondentes iguais.
Passo 3
Pelo critério de congruência Lado–Lado–Lado (LLL), os triângulos
e
são congruentes. Dessa congruência decorre que os ângulos correspondentes são iguais, em particular
Mas esses são exatamente os dois ângulos em que
divide o ângulo
.
Resposta
O segmento
é bissetriz do ângulo
.