Prove que o segmento ligando um vértice de um polígono regular ao centro do círculo em que ele esta inscrito é bissetriz do ângulo daquele vértice.

Passo 1

Vamos considerar um polígono regular inscrito em um círculo de centro ang<= BAO ;=;ang<= OAC . Sejam um vértice qualquer e e seus vértices vizinhos. O objetivo é mostrar que o segmento divide o ângulo interno exatamente ao meio, ou seja, que

Passo 2

Como o polígono é regular, todos os seus lados têm o mesmo comprimento. Logo,
AB = AC
Além disso, em qualquer circunferência todos os raios são iguais, portanto
OB = OC
Por fim, AB = AC, OB = OC, AO = AO, é comum aos dois triângulos e . Assim, nesses dois triângulos temos
ou seja, três lados correspondentes iguais.

Passo 3

Pelo critério de congruência Lado–Lado–Lado (LLL), os triângulos ang<= BAO = ang<= OAC e são congruentes. Dessa congruência decorre que os ângulos correspondentes são iguais, em particular
Mas esses são exatamente os dois ângulos em que divide o ângulo .

Resposta

O segmento é bissetriz do ângulo .