Prove que o segmento ligando um vértice de um polígono regular ao centro do círculo em que ele esta inscrito é bissetriz do ângulo daquele vértice.

Passo 1

Vamos considerar um polígono regular inscrito em um círculo de centro O. Sejam A um vértice qualquer e B e C seus vértices vizinhos. O objetivo é mostrar que o segmento AO divide o ângulo interno ang<= BAC exatamente ao meio, ou seja, que
ang<= BAO ;=;ang<= OAC

Passo 2

Como o polígono é regular, todos os seus lados têm o mesmo comprimento. Logo,
AB = AC
Além disso, em qualquer circunferência todos os raios são iguais, portanto
OB = OC
Por fim, AO é comum aos dois triângulos ABO e ACO. Assim, nesses dois triângulos temos
AB = AC, OB = OC, AO = AO,
ou seja, três lados correspondentes iguais.

Passo 3

Pelo critério de congruência Lado–Lado–Lado (LLL), os triângulos ABO e ACO são congruentes. Dessa congruência decorre que os ângulos correspondentes são iguais, em particular
ang<= BAO = ang<= OAC
Mas esses são exatamente os dois ângulos em que AO divide o ângulo ang<= BAC.

Resposta

O segmento AO é bissetriz do ângulo ang<= BAC.

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