a. Como 5 \% dos residentes da cidade se mudarão para os subúrbios durante o próximo ano, há uma chance de 5 \% de se escolher tal habitante. Sem conhecimento adicional sobre o habitante, podemos dizer que existe uma chance de 5 \% de que o habitante vá se mudar para os subúrbios. Esse fato está contido na segunda componente do vetor de estado \mathbf{x}_{1}, no qual
\mathbf{x}_{1}=M \mathbf{x}_{0}=\left[\begin{array}{ll} 0,95 & 0,03 \\\\ 0,05 & 0,97 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} 1 \\\\ 0 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} 0,95 \\\\ 0,05 \end{array}\right]
b. A probabilidade de um habitante estar morando nos subúrbios depois de dois anos é de 9,6 \%, pois
\mathbf{x}_{2}=M \mathbf{x}_{1}=\left[\begin{array}{ll} 0,95 & 0,03 \\\\ 0,05 & 0,97 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} 0,95 \\\\ 0,05 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} 0,904 \\\\ 0,096 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado descreve uma cadeia de Markov com dois estados – “cidade” e “subúrbios” – cuja matriz de transição é
M = \begin{pmatrix} 0{,}95 & 0{,}03 \\[6pt] 0{,}05 & 0{,}97 \end{pmatrix}
e o vetor de estado inicial é
\mathbf{x}_{0} = \begin{pmatrix}1 \\[3pt] 0\end{pmatrix},
isto é, no instante zero todos vivem na cidade. Pede-se a distribuição de probabilidades após um ano \mathbf{x}_{1} e após dois anos \mathbf{x}_{2}. Vamos usar multiplicação de matrizes para cadeias de Markov.]

Passo 2

Para obter \mathbf{x}_{1}, fazemos
\mathbf{x}_{1} = M \,\mathbf{x}_{0} = \begin{pmatrix} 0{,}95 & 0{,}03 \\\\ 0{,}05 & 0{,}97 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 \\[3pt] 0\end{pmatrix}.
O cálculo de cada componente é:
(\mathbf{x}_{1})_{1} = 0{,}95\cdot1 + 0{,}03\cdot0 = 0{,}95, \quad (\mathbf{x}_{1})_{2} = 0{,}05\cdot1 + 0{,}97\cdot0 = 0{,}05.
Interpretando \mathbf{x}_{1} = \bigl(0{,}95,\,0{,}05\bigr)^{T}, vemos que a probabilidade de um habitante estar nos subúrbios após um ano é de 0{,}05, ou seja, 5\%.]

Passo 3

Para obter \mathbf{x}_{2}, repetimos o produto:
\mathbf{x}_{2} = M \,\mathbf{x}_{1} = \begin{pmatrix} 0{,}95 & 0{,}03 \\\\ 0{,}05 & 0{,}97 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}0{,}95 \\[3pt] 0{,}05\end{pmatrix}.
Calculamos
(\mathbf{x}_{2})_{1} = 0{,}95\cdot0{,}95 + 0{,}03\cdot0{,}05 = 0{,}9025 + 0{,}0015 = 0{,}904,
(\mathbf{x}_{2})_{2} = 0{,}05\cdot0{,}95 + 0{,}97\cdot0{,}05 = 0{,}0475 + 0{,}0485 = 0{,}096.
Interpretando \mathbf{x}_{2} = \bigl(0{,}904,\,0{,}096\bigr)^{T}, concluímos que a probabilidade de se viver nos subúrbios depois de dois anos é de 0{,}096, ou seja, 9{,}6\%.]

Resposta

(a) 5\%
(b) 9{,}6\%