Resolva cada um dos sistemas a seguir.
2 x_{1}+x_{2}+3 x_{3}=1
4 x_{1}+3 x_{2}+5 x_{3}=1

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear com duas equações e três incógnitas:
\begin{cases} 2x_{1} + x_{2} + 3x_{3} = 1,\\\\ 4x_{1} + 3x_{2} + 5x_{3} = 1.
Este é um sistema subdeterminado (mais incógnitas que equações), logo esperamos uma família de soluções infinitas. Vamos usar o método de eliminação e depois parametrizar a solução.

Passo 2

Da primeira equação isolamos x_{2}. Temos
2x_{1} + x_{2} + 3x_{3} = 1 \quad\Longrightarrow\quad x_{2} = 1 - 2x_{1} - 3x_{3}.

Passo 3

Substituímos essa expressão de x_{2} na segunda equação:
4x_{1} + 3\bigl(1 - 2x_{1} - 3x_{3}\bigr) + 5x_{3} = 1.
Agora distribuímos e simplificamos:
4x_{1} + 3 - 6x_{1} - 9x_{3} + 5x_{3} = 1 \quad\Longrightarrow\quad -2x_{1} - 4x_{3} + 3 = 1 \quad\Longrightarrow\quad -2x_{1} - 4x_{3} = -2.
Dividindo tudo por -2, obtemos
x_{1} + 2x_{3} = 1 \quad\Longrightarrow\quad x_{1} = 1 - 2x_{3}.

Passo 4

Agora voltamos à expressão de x_{2} e substituímos x_{1}=1-2x_{3}:
x_{2} = 1 - 2(1 - 2x_{3}) - 3x_{3} = 1 - 2 + 4x_{3} - 3x_{3} = -1 + x_{3}.

Passo 5

Introduzimos um parâmetro t para x_{3}, ou seja, x_{3}=t. Assim a solução geral fica
x_{1} = 1 - 2t,\quad x_{2} = -1 + t,\quad x_{3} = t,\quad t\in\mathbb{R}.

Resposta

(x_{1},x_{2},x_{3}) = \bigl(1 - 2t,\,-1 + t,\,t\bigr), \quad t\in\mathbb{R}.