Resolva os dois sistemas usando operações elementares em uma matriz aumentada 3 \times 5 e depois usando substituição.
x_{1}+2 x_{2}-2 x_{3}=1
2 x_{1}+5 x_{2}+x_{3}=9
x_{1}+3 x_{2}+4 x_{3}=9

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
\begin{cases} x_{1}+2x_{2}-2x_{3}=1,\\\\ 2x_{1}+5x_{2}+x_{3}=9,\\\ x_{1}+3x_{2}+4x_{3}=9 \end{cases}
de duas formas: (i) usando operações elementares em sua matriz aumentada e (ii) por substituição direta.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada e aplicamos eliminação de Gauss:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -2 & 1\\\\ 2 & 5 & 1 & 9\\\\ 1 & 3 & 4 & 9 \end{array}\right]
Vamos zerar abaixo de a_{11}=1:
R_{2}\leftarrow R_{2}-2R_{1} \quad\text{e}\quad R_{3}\leftarrow R_{3}-R_{1} \;\Longrightarrow\; \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -2 & 1\\\\ 0 & 1 & 5 & 7\\\\ 0 & 1 & 6 & 8 \end{array}\right]
Agora zeramos a_{32}:
R_{3}\leftarrow R_{3}-R_{2} \;\Longrightarrow\; \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -2 & 1\\\\ 0 & 1 & 5 & 7\\\\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right]

Passo 3

Fazendo a retro-substituição na forma escalonada:
Da terceira linha, \;x_{3}=1.
Da segunda linha, \;x_{2}+5x_{3}=7\;\Longrightarrow\;x_{2}=7-5\cdot1=2.
Da primeira linha, \;x_{1}+2x_{2}-2x_{3}=1\;\Longrightarrow\;x_{1}+4-2=1\;\Longrightarrow\;x_{1}=-1.

Passo 4

Agora por substituição direta:
Da primeira equação,
x_{1}=1-2x_{2}+2x_{3}.
Substituindo em (2) e (3):
2(1-2x_{2}+2x_{3})+5x_{2}+x_{3}=9 \;\Longrightarrow\; x_{2}+5x_{3}=7,
(1-2x_{2}+2x_{3})+3x_{2}+4x_{3}=9 \;\Longrightarrow\; x_{2}+6x_{3}=8.
Subtraindo:
(x_{2}+6x_{3})-(x_{2}+5x_{3})=8-7 \;\Longrightarrow\; x_{3}=1,
x_{2}+5\cdot1=7 \;\Longrightarrow\; x_{2}=2,
x_{1}=1-2\cdot2+2\cdot1=-1.

Resposta

(x_{1},x_{2},x_{3}) = (-1,\,2,\,1).