Quais dos seguintes conjuntos de vetores formam uma base ortonormal para R^2 ?
(a) (1,0)^T,(0,1)^T
(b) (35, 45)^T,(513, 1213)^T
(c) (1,-1)^T,(1,1)^T
(d) (raiz32, 12)^T,(-12, raiz32)^T

Passo 1

O enunciado pede para identificar quais coleções de dois vetores em R^2 são bases ortonormais.
Conteúdo: em R^2, um conjunto u,v é ortonormal se
  1. |u|=1 e |v|=1 (vetores unitários),
  2. lang<= u,vrang<==0 (são ortogonais),
  3. são linearmente independentes (mas em R^2, dois vetores ortogonais não nulos já garantem isso).

Passo 2

Analisando o conjunto (a): (1,0)^T,,(0,1)^T.
– Normas:
|(1,0)|=raiz1^2+0^2=1,
|(0,1)|=raiz0^2+1^2=1.
– Produto interno:
lang<=(1,0),(0,1)rang<==1cdot0+0cdot1=0.
Logo são unitários e ortogonais. Assim (a) é uma base ortonormal.

Passo 3

Analisando o conjunto (b):
l(tfrac35,tfrac45r),,l(tfrac513,tfrac1213r).
– Normas:
l|l(tfrac35,tfrac45r)r|=1,
l|l(tfrac513,tfrac1213r)r|=1.
– Produto interno:
llang<=l(tfrac35,tfrac45r),l(tfrac513,tfrac1213r)rrang<= =tfrac35cdottfrac513+tfrac45cdottfrac1213 =tfrac15+4865=tfrac6365neq0
Não são ortogonais, logo não formam base ortonormal.

Passo 4

Analisando o conjunto (c): (1,-1)^T,,(1,1)^T.
– Produto interno:
lang<=(1,-1),(1,1)rang<==1cdot1+(-1)cdot1=0, são ortogonais.
– Normas:
|(1,-1)|=raiz1+1=raiz2neq1,
|(1,1)|=raiz2neq1.
Não são unitários, logo não são ortonormais.

Passo 5

Analisando o conjunto (d):
ll(tfracraiz32,tfrac12r)^T,l(-tfrac12,tfracraiz32r)^Tr.
– Normas:
l|l(tfracraiz32,tfrac12r)r|=raiztfrac34+tfrac14=1,
l|l(-tfrac12,tfracraiz32r)r|=1.
– Produto interno:
lang<=(tfracraiz32,tfrac12),(-tfrac12,tfracraiz32)rang<= =-tfracraiz34+tfracraiz34=0.
São unitários e ortogonais, portanto formam base ortonormal.

Resposta

As coleções que formam base ortonormal em R^2 são
(a) e (d).