Quais das seguintes matrizes 3 times 3 estão em forma escalonada reduzida por linhas?
(a) [lll1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1]
(b) [lll1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0]
(c) [lll0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0]
(d) [lll1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0]
(e) [lll1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1]
(f) [lll0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0]
(g) [lll1 & 1 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0]
(h) [lll1 & 0 & 2 0 & 1 & 3 0 & 0 & 0]
(i) [lll0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0]
(j) [lll0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0]

Passo 1

O enunciado pede para identificar quais das matrizes (3times3) dadas estão em forma escalonada reduzida por linhas (RREF).
Lembrando os quatro requisitos da RREF:
  1. Todas as linhas nulas (se existirem) ficam abaixo das linhas não nulas.
  2. O primeiro elemento não nulo de cada linha não nula (o pivô) é 1.
  3. Em linhas sucessivas, o pivô de cada linha aparece estritamente à direita do pivô da linha acima.
  4. Cada pivô 1 é o único elemento não nulo em sua coluna.

Passo 2

Vamos primeiro descartar as matrizes que violam o formato escalonado (itens 2 e 3).
– (e) tem uma linha nula no meio, mas depois vem uma linha não nula, violando o item 1.
– (f) tem pivôs nas colunas 2 então 1 (não avançam para a direita), violando o item 3.
– (g) tem pivô em coluna 2 na linha 2 mas essa coluna já tem outro não-zero na linha 1, o que indica também que na verdade o pivô delinha 1 está em coluna 1 e de linha 2 em coluna 2, mas na coluna 2 há outro não-zero, então falha o item 4 além do escalonamento.
Essas três não podem ser RREF.

Passo 3

Das demais ((a), (b), (c), (d), (h), (i), (j)), todas já satisfazem o escalonamento e têm pivôs iguais a 1. Resta checar o item 4 (cada pivô é único em sua coluna):
  • Em (a) e (b) cada pivô é diagonal e sem outros não-zeros nas colunas de pivô.
  • Em (c) e (d) há pivôs em colunas 2,3 (ou 1,3 em (d)), e nessas colunas não existe outro não-zero.
  • Em (h) os pivôs estão em colunas 1 e 2, e nessas colunas todos os demais elementos são zero.
  • Em (i) o único pivô está em coluna 3, sem outro não-zero.
  • Em (j) não há nenhum pivô, vacuamente satisfaz todos os itens.
Todas essas satisfazem também o item 4.

Resposta

(a), (b), (c), (d), (h), (i), (j) estão em forma escalonada reduzida por linhas.