Quais das seguintes são formas quadráticas?
x^2-raiz2 x y

Passo 1

O enunciado pergunta se a expressão
é uma forma quadrática em . Lembre que uma forma quadrática em é todo polinômio homogêneo de grau nas variáveis, ou seja, algo que possa ser escrito como
para alguma matriz simétrica .

Passo 2

Verificamos que x^2-raiz2,x,y é um polinômio em (x,y) cujos termos são de grau exatamente 2 (cada monômio tem soma dos expoentes igual a 2). Logo, ele é homogêneo de grau 2, característica essencial de uma forma quadrática.

Passo 3

Para evidenciar a forma matricial, escrevemos
f(x,y)=x^2-raiz2,x,y = x & y 1 & -tfracraiz22[6pt] -tfracraiz22 & 0 x y
Basta conferir que
x & y 1 & -tfracraiz22[4pt] -tfracraiz22 & 0 x y =1cdot x^2 -2cdotraiz22,x,y +0cdot y^2 =x^2-raiz2,x,y ]

Resposta

A expressão
x^2-raiz2,x,y
é sim uma forma quadrática em (x,y).