Quais dos seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais?
O conjunto
dos vetores
, onde
é arbitrário.
O conjunto
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
é subespaço vetorial. O conteúdo é a definição de subespaço em
e vamos precisar usar os critérios: conter o vetor zero, ser fechado sob soma e ser fechado sob multiplicação escalar.
Passo 2
Vamos reescrever
como um espaço gerado por um único vetor. Note que todo
pode ser escrito como $
L=\mathrm{Span}{(1,2,\dots,n)}$.
Passo 3
Verificamos que o vetor zero pertence a
. Basta tomar
e obtemos
Passo 4
Verificamos a fechadura na soma. Se
e
, então
$
x+y\in\mathbb{R}
v_1+v_2\in L$.
Passo 5
Verificamos a fechadura na multiplicação escalar. Para
e
temos
$
\alpha x\in\mathbb{R}
\alpha v\in L$.
Resposta
O conjunto
é subespaço vetorial de
(é uma linha de dimensão 1 passando pela origem).