Quais dos seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais?
O conjunto $\mathrm{L} \subset \mathbb{R}^{n}$ dos vetores $v=(x, 2 x, \ldots, n x)$, onde $x \in \mathbb{R}$ é arbitrário.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto L=(x,2x,dots,nx):xinRsubsetR^n é subespaço vetorial. O conteúdo é a definição de subespaço em R^n e vamos precisar usar os critérios: conter o vetor zero, ser fechado sob soma e ser fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Vamos reescrever L como um espaço gerado por um único vetor. Note que todo vin L pode ser escrito como v=x,(1,2,dots,n)ou seja, L=Span(1,2,dots,n).

Passo 3

Verificamos que o vetor zero pertence a L. Basta tomar x=0 e obtemos 0=(0,0,dots,0)in L

Passo 4

Verificamos a fechadura na soma. Se v1=x(1,2,dots,n) e v2=y(1,2,dots,n), então
v1+v2 = x(1,2,dots,n) + y(1,2,dots,n) = (x+y)(1,2,dots,n),e como x+yinR, segue que v1+v2in L.

Passo 5

Verificamos a fechadura na multiplicação escalar. Para alphainR e v=x(1,2,dots,n) temos
alpha v = alphal(x(1,2,dots,n)r) = (alpha x)(1,2,dots,n),e como alpha xinR, então alpha vin L.

Resposta

O conjunto L é subespaço vetorial de R^n (é uma linha de dimensão 1 passando pela origem).