Quais dos seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais?
O conjunto $\mathrm{L} \subset \mathbb{R}^{n}$ dos vetores $v=(x, 2 x, \ldots, n x)$, onde $x \in \mathbb{R}$ é arbitrário.
O conjunto $\mathrm{L} \subset \mathbb{R}^{n}$ dos vetores $v=(x, 2 x, \ldots, n x)$, onde $x \in \mathbb{R}$ é arbitrário.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
é subespaço vetorial. O conteúdo é a definição de subespaço em
e vamos precisar usar os critérios: conter o vetor zero, ser fechado sob soma e ser fechado sob multiplicação escalar.
Passo 2
Vamos reescrever
como um espaço gerado por um único vetor. Note que todo
pode ser escrito como
ou seja,
.
Passo 3
Verificamos que o vetor zero pertence a
. Basta tomar
e obtemos
Passo 4
Verificamos a fechadura na soma. Se
e
, então
Passo 5
Verificamos a fechadura na multiplicação escalar. Para
e
temos
Resposta
O conjunto
é subespaço vetorial de
(é uma linha de dimensão 1 passando pela origem).