Quais dos seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais?
O conjunto L subset R^n dos vetores v=(x, 2 x, ldots, n x), onde x in R é arbitrário.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto L=(x,2x,dots,nx):xinRsubsetR^n é subespaço vetorial. O conteúdo é a definição de subespaço em R^n e vamos precisar usar os critérios: conter o vetor zero, ser fechado sob soma e ser fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Vamos reescrever L como um espaço gerado por um único vetor. Note que todo vin L pode ser escrito como $ v=x,(1,2,dots,n) L=Span(1,2,dots,n)L=\mathrm{Span}{(1,2,\dots,n)}$.

Passo 3

Verificamos que o vetor zero pertence a L. Basta tomar x=0 e obtemos
0=(0,0,dots,0)in L

Passo 4

Verificamos a fechadura na soma. Se v1=x(1,2,dots,n) e v2=y(1,2,dots,n), então
$ v1+v2 = x(1,2,dots,n) + y(1,2,dots,n) = (x+y)(1,2,dots,n), x+yinRx+y\in\mathbb{R} v1+v2in Lv_1+v_2\in L$.

Passo 5

Verificamos a fechadura na multiplicação escalar. Para alphainR e v=x(1,2,dots,n) temos
$ alpha v = alphal(x(1,2,dots,n)r) = (alpha x)(1,2,dots,n), alpha xinR\alpha x\in\mathbb{R} alpha vin Lã\alpha v\in L$.

Resposta

O conjunto L é subespaço vetorial de R^n (é uma linha de dimensão 1 passando pela origem).

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