Seja P o conjunto de todos os polinômios. Mostre que P, juntamente com as adição e multiplicação por escalar de funções, forma um espaço vetorial.

Passo 1

O enunciado define P como o conjunto de todos os polinômios (digamos, com coeficientes em R) e nos dá duas operações:
  1. Adição de funções, onde (p+q)(x)=p(x)+q(x).
  2. Multiplicação por escalar, onde (alpha p)(x)=alphal(p(x)r).
    Queremos mostrar que (P,+,cdot) satisfaz os axiomas de espaço vetorial sobre o corpo R.

Passo 2

(Fechamento)
Sejam
p(x)=sumi=0^nai x^i, q(x)=sumi=0^mbi x^i
com ai,biinR. Então
(p+q)(x)=sumi=0^max(n,m)(ai+bi),x^i
é claramente um polinômio, logo p+qin P. De modo análogo, para alphainR,
(alpha p)(x) =sumi=0^n(alpha ai),x^i
também é um polinômio, logo alpha pin P.

Passo 3

(Comutatividade e Associatividade da adição)
Para quaisquer p,q,rin P e para todo x, vale
(p+q)(x)=p(x)+q(x)=q(x)+p(x)=(q+p)(x),
logo p+q=q+p.
E
l((p+q)+rr)(x) =(p+q)(x)+r(x) =p(x)+l(q(x)+r(x)r) =l(p+(q+r)r)(x),
logo (p+q)+r=p+(q+r).

Passo 4

(Elemento neutro e inverso aditivo)
Defina o polinômio nulo
0P(x)=0
para todo x. Então p+0P=p.
Para cada p(x)=sum ai x^i, o inverso aditivo é
(-p)(x)=sum(-ai)x^i,
pois l(p+(-p)r)(x)=0.

Passo 5

(Propriedades da multiplicação por escalar)
Para quaisquer alpha,betainR e p,qin P temos, em cada x:
  1. Distributividade em relação aos escalares:
l((alpha+beta)pr)(x) =(alpha+beta)p(x) =alpha p(x)+beta p(x) =(alpha p+beta p)(x)
  1. Distributividade em relação aos vetores:
l(alpha(p+q)r)(x) =alphal(p(x)+q(x)r) =alpha p(x)+alpha q(x) =(alpha p+alpha q)(x)
  1. Compatibilidade de escalares:
l((alphabeta)pr)(x) =(alphabeta)p(x) =alphal(beta p(x)r) =l(alpha(beta p)r)(x)
  1. Elemento unitário:
(1cdot p)(x)=1cdot p(x)=p(x)

Resposta

Como verificamos todos os axiomas de um espaço vetorial (fechamento, comutatividade, associatividade, neutro, inverso aditivo e propriedades da multiplicação por escalar), concluímos que P, munido da adição de funções e da multiplicação por escalar, é de fato um espaço vetorial sobre R.