Seja
o conjunto de todos os polinômios. Mostre que
, juntamente com as adição e multiplicação por escalar de funções, forma um espaço vetorial.
Passo 1
O enunciado define
como o conjunto de todos os polinômios (digamos, com coeficientes em
) e nos dá duas operações:
- Adição de funções, onde
. - Multiplicação por escalar, onde
.
Queremos mostrar quesatisfaz os axiomas de espaço vetorial sobre o corpo .
Passo 2
(Fechamento)
Sejam
Sejam
com
. Então
é claramente um polinômio, logo
. De modo análogo, para
,
também é um polinômio, logo
.
Passo 3
(Comutatividade e Associatividade da adição)
Para quaisquer e para todo
, vale
Para quaisquer
logo
.
E
E
logo
.
Passo 4
(Elemento neutro e inverso aditivo)
Defina o polinômio nulo
Defina o polinômio nulo
para todo
. Então
.
Para cada , o inverso aditivo é
Para cada
pois
.
Passo 5
(Propriedades da multiplicação por escalar)
Para quaisquer e
temos, em cada
:
Para quaisquer
- Distributividade em relação aos escalares:
- Distributividade em relação aos vetores:
- Compatibilidade de escalares:
- Elemento unitário:
Resposta
Como verificamos todos os axiomas de um espaço vetorial (fechamento, comutatividade, associatividade, neutro, inverso aditivo e propriedades da multiplicação por escalar), concluímos que
, munido da adição de funções e da multiplicação por escalar, é de fato um espaço vetorial sobre
.