Seja
\mathbf{x} um vetor de dimensão n.
(a) É possível que \mathbf{x} \cdot \mathbf{x} seja negativo? Explique.
(b) Se \mathbf{x} \cdot \mathbf{x}=0, o que é \mathbf{x} ?

Passo 1

O enunciado considera um vetor \mathbf{x}=(x_1,x_2,\dots,x_n) em \mathbb{R}^n e faz duas perguntas usando o produto escalar canônico:
  • (a) Será que \mathbf{x}\cdot\mathbf{x} pode ser negativo?
  • (b) Se \mathbf{x}\cdot\mathbf{x}=0, o que isso implica em \mathbf{x}?
O conteúdo envolvido é a definição de produto escalar e as propriedades da soma de quadrados de números reais.

Passo 2

Pela definição do produto escalar canônico em \mathbb{R}^n, temos
\mathbf{x}\cdot\mathbf{x} =\sum_{i=1}^{n}x_i\,x_i =\sum_{i=1}^{n}x_i^2.
Cada termo x_i^2 é um quadrado de número real, logo satisfaz x_i^2\ge 0.

Passo 3

Como \mathbf{x}\cdot\mathbf{x}=\sum_{i=1}^{n}x_i^2 é soma de termos não negativos, concluímos que
\mathbf{x}\cdot\mathbf{x}\;\ge\;0.
Portanto, não há como \mathbf{x}\cdot\mathbf{x} ser negativo.

Passo 4

Se \mathbf{x}\cdot\mathbf{x}=0, então
\sum_{i=1}^{n}x_i^2 = 0.
Uma soma de quadrados só é zero se cada quadrado for zero, isto é, x_i^2=0 para todo i. Logo, cada x_i=0 e
\mathbf{x}=(0,0,\dots,0),
isto é, \mathbf{x} é o vetor nulo.

Resposta

(a) Não. Como \mathbf{x}\cdot\mathbf{x}=\sum_{i=1}^n x_i^2\ge0, nunca pode ser negativo.
(b) \mathbf{x} deve ser o vetor nulo, ou seja, \mathbf{x}=(0,0,\dots,0).