Seja
\mathbf{x} um vetor de dimensão n.
(a) É possível que \mathbf{x} \cdot \mathbf{x} seja negativo? Explique.
(b) Se \mathbf{x} \cdot \mathbf{x}=0, o que é \mathbf{x} ?
\mathbf{x} um vetor de dimensão n.
(a) É possível que \mathbf{x} \cdot \mathbf{x} seja negativo? Explique.
(b) Se \mathbf{x} \cdot \mathbf{x}=0, o que é \mathbf{x} ?
Passo 1
O enunciado considera um vetor
em
e faz duas perguntas usando o produto escalar canônico:
- (a) Será que
pode ser negativo? - (b) Se
, o que isso implica em ?
O conteúdo envolvido é a definição de produto escalar e as propriedades da soma de quadrados de números reais.
Passo 2
Pela definição do produto escalar canônico em
, temos
Cada termo
é um quadrado de número real, logo satisfaz
.
Passo 3
Como
é soma de termos não negativos, concluímos que
Portanto, não há como
ser negativo.
Passo 4
Se
, então
Uma soma de quadrados só é zero se cada quadrado for zero, isto é,
para todo
. Logo, cada
e
isto é,
é o vetor nulo.
Resposta
(a) Não. Como
, nunca pode ser negativo.
(b) deve ser o vetor nulo, ou seja,
.
(b)