Seja a uma matriz ortogonal n times n.
(a) Prove que A: M(n times n) M(n times n), definida por A x=a x^top+ x a^top, é uma transformação linear cuja imagem é o conjunto das matrizes simétricas.
(b) Prove que, dada uma matriz simétrica s in M(n times n), o conjunto das matrizes x tais que a x^top+x a ^ top =s é uma variedade afim de dimensão n(n-1) / 2 no espaço vetorial M(n times n).

Passo 1

Resumo do enunciado: temos uma matriz ortogonal ain M(ntimes n) fixa e definimos a aplicação A: M(ntimes n)to M(ntimes n) por A(x)=a,x^top+x,a^top. O conteúdo envolve transformação linear, espaço de matrizes simétricas e o Teorema Núcleo–Imagem.

Passo 2

Verificação de linearidade: para quaisquer x,yin M(ntimes n) e escalares lambda,mu,
\
A(lambda x+mu y)=a(lambda x+mu y)^top+(lambda x+mu y)a^top =lambda(a x^top+x a^top)+mu(a y^top+y a^top)=lambda A(x)+mu A(y)

Passo 3

Caracterização da imagem: primeiro, note que para todo x
\
(A(x))^top=(a x^top+x a^top)^top=x a^top+a x^top=A(x),
logo A(x) é simétrica. Agora, dado qualquer S=S^top, basta escolher
\
X=tfrac12,S,a
Então
\
A(X)=a(tfrac12S a)^top+(tfrac12S a)a^top=tfrac12(a a^topS+S a a^top)=tfrac12(S+S)=S,
pois a a^top=In. Assim Im(A) é exatamente o espaço das matrizes simétricas.

Passo 4

Dimensões e núcleo: sabemos que dim M(ntimes n)=n^2 e dimsimétricas=n(n+1)2é. Pelo Teorema Núcleo–Imagem,
\
dimker(A)=n^2-n(n+1)2=n(n-1)2

Passo 5

Como a solução geral de A(x)=S é x=X0+ker(A), é um subespaço afim de dimensão dimker(A)=n(n-1)2.

Resposta

(a) A é linear e sua imagem é o conjunto de todas as matrizes simétricas. (b) Para cada simétrica S, o conjunto {,x\mid a x^{\top}+x a^{\top}=S} é um subespaço afim de dimensão n(n-1)/2 em M(ntimes n).

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