Seja a uma matriz ortogonal n times n.
(a) Prove que A: M(n times n) M(n times n), definida por A x=a x^top+ x a^top, é uma transformação linear cuja imagem é o conjunto das matrizes simétricas.
(b) Prove que, dada uma matriz simétrica s in M(n times n), o conjunto das matrizes x tais que a x^top+x a ^ top =s é uma variedade afim de dimensão n(n-1) / 2 no espaço vetorial M(n times n).

Passo 1

Resumo do enunciado: temos uma matriz ortogonal ain M(ntimes n) fixa e definimos a aplicação A: M(ntimes n)to M(ntimes n) por A(x)=a,x^top+x,a^top. O conteúdo envolve transformação linear, espaço de matrizes simétricas e o Teorema Núcleo–Imagem.

Passo 2

Verificação de linearidade: para quaisquer x,yin M(ntimes n) e escalares lambda,mu,
$$ A(\lambda x+\mu y)=a(\lambda x+\mu y)^{\top}+(\lambda x+\mu y)a^{\top} =\lambda(a x^{\top}+x a^{\top})+\mu(a y^{\top}+y a^{\top})=\lambda A(x)+\mu A(y). $$

Passo 3

Caracterização da imagem: primeiro, note que para todo x
$$ (A(x))^{\top}=(a x^{\top}+x a{\top}){\top}=x a^{\top}+a x^{\top}=A(x), $$
logo (A(x))^top=(a x^top+x a^top)^top=x a^top+a x^top=A(x), é simétrica. Agora, dado qualquer A(x), basta escolher
$$ X=\tfrac12,S,a. $$
Então
$$ A(X)=a(\tfrac12S a)^{\top}+(\tfrac12S a)a^{\top}=\tfrac12(a a^{\top}S+S a a^{\top})=\tfrac12(S+S)=S, $$
pois S=S^top. Assim X=tfrac12,S,a é exatamente o espaço das matrizes simétricas.

Passo 4

Dimensões e núcleo: sabemos que dim M(ntimes n)=n^2 e dimsimétricas=n(n+1)2é. Pelo Teorema Núcleo–Imagem,
$ dimker(A)=n^2-n(n+1)2=n(n-1)2

Passo 5

Como a solução geral de A(x)=S é x=X0+ker(A), é um subespaço afim de dimensão dimker(A)=n(n-1)2.

Resposta

(a) A é linear e sua imagem é o conjunto de todas as matrizes simétricas. (b) Para cada simétrica S, o conjunto {,x\mid a x^{\top}+x a^{\top}=S} é um subespaço afim de dimensão n(n-1)/2 em M(ntimes n).