Seja a uma matriz ortogonal
.
(a) Prove que
, definida por
, é uma transformação linear cuja imagem é o conjunto das matrizes simétricas.
(b) Prove que, dada uma matriz simétrica
, o conjunto das matrizes
tais que
é uma variedade afim de dimensão
no espaço vetorial
.
(a) Prove que
(b) Prove que, dada uma matriz simétrica
Passo 1
Resumo do enunciado: temos uma matriz ortogonal
fixa e definimos a aplicação
por
. O conteúdo envolve transformação linear, espaço de matrizes simétricas e o Teorema Núcleo–Imagem.
Passo 2
Verificação de linearidade: para quaisquer
e escalares
,
\
\
Passo 3
Caracterização da imagem: primeiro, note que para todo
\
\
logo
é simétrica. Agora, dado qualquer
, basta escolher
\
\
Então
\
\
pois
. Assim
é exatamente o espaço das matrizes simétricas.
Passo 4
Dimensões e núcleo: sabemos que
e
. Pelo Teorema Núcleo–Imagem,
\
\
Passo 5
Como a solução geral de
é
, é um subespaço afim de dimensão
.
Resposta
(a) A é linear e sua imagem é o conjunto de todas as matrizes simétricas. (b) Para cada simétrica
, o conjunto {,x\mid a x^{\top}+x a^{\top}=S} é um subespaço afim de dimensão
em
.