Seja a uma matriz ortogonal
.
(a) Prove que
, definida por
, é uma transformação linear cuja imagem é o conjunto das matrizes simétricas.
(b) Prove que, dada uma matriz simétrica
, o conjunto das matrizes
tais que
é uma variedade afim de dimensão
no espaço vetorial
.
(a) Prove que
(b) Prove que, dada uma matriz simétrica
Passo 1
Resumo do enunciado: temos uma matriz ortogonal
fixa e definimos a aplicação
por
. O conteúdo envolve transformação linear, espaço de matrizes simétricas e o Teorema Núcleo–Imagem.
Passo 2
Verificação de linearidade: para quaisquer
e escalares
,
$$ A(\lambda x+\mu y)=a(\lambda x+\mu y)^{\top}+(\lambda x+\mu y)a^{\top} =\lambda(a x^{\top}+x a^{\top})+\mu(a y^{\top}+y a^{\top})=\lambda A(x)+\mu A(y). $$
Passo 3
Caracterização da imagem: primeiro, note que para todo
$$ (A(x))^{\top}=(a x^{\top}+x a{\top}){\top}=x a^{\top}+a x^{\top}=A(x), $$
logo é simétrica. Agora, dado qualquer
, basta escolher
$$ X=\tfrac12,S,a. $$
logo
$$ X=\tfrac12,S,a. $$
Então
$$ A(X)=a(\tfrac12S a)^{\top}+(\tfrac12S a)a^{\top}=\tfrac12(a a^{\top}S+S a a^{\top})=\tfrac12(S+S)=S, $$
pois . Assim
é exatamente o espaço das matrizes simétricas.
pois
Passo 4
Dimensões e núcleo: sabemos que
e
. Pelo Teorema Núcleo–Imagem,
$
Passo 5
Como a solução geral de
é
, é um subespaço afim de dimensão
.
Resposta
(a) A é linear e sua imagem é o conjunto de todas as matrizes simétricas. (b) Para cada simétrica
, o conjunto {,x\mid a x^{\top}+x a^{\top}=S} é um subespaço afim de dimensão
em
.