Seja
uma matriz
.
(a) Explique por que é possível efetuar as multiplicações
e
.
(b) Mostre que
e
são ambas simétricas.
(a) Explique por que é possível efetuar as multiplicações
(b) Mostre que
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (a) mostrar que as multiplicações
e
estão bem definidas pelas regras de dimensão de matrizes, e (b) provar que ambas resultam em matrizes simétricas. O conteúdo envolvido é multiplicação de matrizes e propriedades de transposição.
Passo 2
Para ver que as duas multiplicações existem, basta conferir as dimensões de
e de
:
é
, logo
(a) Em
multiplicamos uma matriz
por uma
, e isso gera uma matriz de dimensão
portanto está definido.
(b) Em multiplicamos uma matriz
por uma
, obtendo uma matriz de dimensão
(b) Em
logo também está definido.
Passo 3
Para mostrar que
é simétrica, usamos a propriedade geral da transposição de um produto: se
e
são matrizes compatíveis, então
Aplicando com
e
, temos
mas observando de novo que na expressão original
também vale
pela mesma linha de raciocínio, concluímos que
ou seja,
é simétrica.
Passo 4
De modo semelhante, para
tomamos
e
. Pela propriedade da transposta,
o que mostra imediatamente que
portanto
é também simétrica.
Resposta
(a) Porque as dimensões de
(
) e de
(
) tornam bem definidas as multiplicações
e
.
(b) Usando em cada caso, obtém-se
e
, logo ambas são simétricas.
(b) Usando