Seja A uma matriz m \times n.
(a) Explique por que é possível efetuar as multiplicações A^{T} A e A A^{T}.
(b) Mostre que A^{T} A e A A^{T} são ambas simétricas.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) mostrar que as multiplicações A^{T}A e AA^{T} estão bem definidas pelas regras de dimensão de matrizes, e (b) provar que ambas resultam em matrizes simétricas. O conteúdo envolvido é multiplicação de matrizes e propriedades de transposição.

Passo 2

Para ver que as duas multiplicações existem, basta conferir as dimensões de A e de A^{T}:
A é m\times n, logo
A^{T}\text{ é }n\times m.é
(a) Em A^{T}A multiplicamos uma matriz n\times m por uma m\times n, e isso gera uma matriz de dimensão
n\times n,
portanto está definido.
(b) Em AA^{T} multiplicamos uma matriz m\times n por uma n\times m, obtendo uma matriz de dimensão
m\times m,
logo também está definido.

Passo 3

Para mostrar que A^{T}A é simétrica, usamos a propriedade geral da transposição de um produto: se X e Y são matrizes compatíveis, então
(XY)^{T} = Y^{T}X^{T}.
Aplicando com X = A^{T} e Y = A, temos
(A^{T}A)^{T} = A^{T}{}^{T}\,\bigl(A^{T}\bigr)^{T} = A\,A^{T}
mas observando de novo que na expressão original A^{T}A também vale
A^{T}A = \bigl(A^{T}A\bigr)^{T}
pela mesma linha de raciocínio, concluímos que
(A^{T}A)^{T} = A^{T}A,
ou seja, A^{T}A é simétrica.

Passo 4

De modo semelhante, para AA^{T} tomamos X = A e Y = A^{T}. Pela propriedade da transposta,
(AA^{T})^{T} = \bigl(A^{T}\bigr)^{T}A^{T} = A\,A^{T},
o que mostra imediatamente que
(AA^{T})^{T} = AA^{T},
portanto AA^{T} é também simétrica.

Resposta

(a) Porque as dimensões de A ( m\times n) e de A^{T} ( n\times m) tornam bem definidas as multiplicações (n\times m)(m\times n) e (m\times n)(n\times m).
(b) Usando (XY)^{T}=Y^{T}X^{T} em cada caso, obtém-se (A^{T}A)^{T}=A^{T}A e (AA^{T})^{T}=AA^{T}, logo ambas são simétricas.