Seja L: R^{3} \rightarrow R^{3} definida por
L(x, y, z)=(x+2 y+z, 2 x-y, 2 y+z) .
Seja S a base canônica para R^{3} e seja T=\{(1,0,1),(0,1,1),(0,0,
1)} outra base para R^{3}. Encontre a matriz de L em relação a
(a) S
(b) S e T
(c) T \mathrm{e} S
(d) T
(e) Calcule L(1,1,-2) usando a definição de L e também as matrizes obtidas em (a), (b), (c) e (d).

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
L\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3,\qquad L(x,y,z)=(x+2y+z,\;2x-y,\;2y+z),
e pede as matrizes de L em várias combinações de bases e, por fim, calcular L(1,1,-2) diretamente e via essas matrizes. Vamos usar que, para bases \mathcal B (domínio) e \mathcal B' (imagem), a matriz [L]_{\mathcal B}^{\mathcal B'} tem colunas dadas pelas coordenadas de L(b_j) escritas na base \mathcal B', onde b_j é o j-ésimo vetor de \mathcal B.

Passo 2

(a) Base \mathcal S é a canônica \{e_1,e_2,e_3\}.
Calculamos
L(e_1)=L(1,0,0)=(1,2,0),\quad L(e_2)=L(0,1,0)=(2,-1,2),\quad L(e_3)=L(0,0,1)=(1,0,1).
Como essas já estão na base canônica, a matriz [L]_{\mathcal S}^{\mathcal S} tem colunas esses vetores:
[L]_{\mathcal S}^{\mathcal S} =\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\\\ 2 & -1 & 0\\\\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 3

(b) Domínio em \mathcal S e imagem em T=\{t_1,t_2,t_3\} com \,t_1=(1,0,1),\,t_2=(0,1,1),\,t_3=(0,0,1).
Para cada e_j, expressamos L(e_j) em coordenadas de T. Por exemplo,
L(e_1)=(1,2,0)=1\,t_1+2\,t_2-3\,t_3\implies\text{col}_1=(1,2,-3),
L(e_2)=(2,-1,2)=2\,t_1-1\,t_2+1\,t_3\implies\text{col}_2=(2,-1,1),
L(e_3)=(1,0,1)=1\,t_1+0\,t_2+0\,t_3\implies\text{col}_3=(1,0,0).
Logo
[L]_{\mathcal S}^{T} =\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\\\ 2 & -1 & 0\\\\ -3 & 1 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 4

(c) Domínio em T e imagem em \mathcal S.
Primeiro calculamos L(t_j) no canônico:
L(t_1)=L(1,0,1)=(2,2,1),\quad L(t_2)=L(0,1,1)=(3,-1,3),\quad L(t_3)=L(0,0,1)=(1,0,1).
Esses são as colunas de [L]_{T}^{\mathcal S}:
[L]_{T}^{\mathcal S} =\begin{pmatrix} 2 & 3 & 1\\\\ 2 & -1 & 0\\\\ 1 & 3 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 5

(d) Domínio e imagem em T.
Precisamos das coordenadas de L(t_j) em T. Por exemplo,
L(t_1)=(2,2,1)=2\,t_1+2\,t_2-3\,t_3\implies\text{col}_1=(2,2,-3),
L(t_2)=(3,-1,3)=3\,t_1-1\,t_2+1\,t_3\implies\text{col}_2=(3,-1,1),
L(t_3)=(1,0,1)=1\,t_1+0\,t_2+0\,t_3\implies\text{col}_3=(1,0,0).
Assim
[L]_{T}^{T} =\begin{pmatrix} 2 & 3 & 1\\\\ 2 & -1 & 0\\\\ -3 & 1 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 6

(e) Pela definição:
L(1,1,-2)=(1+2\cdot1+(-2),\;2\cdot1-1,\;2\cdot1+(-2))=(1,1,0).

Passo 7

Usando [L]_{\mathcal S}^{\mathcal S} de (a) e o vetor em coordenadas canônicas (1,1,-2):
\begin{pmatrix} 1 &2 &1\\\\ 2 &-1&0\\\\ 0 &2 &1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ -2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1+2-2\\\ 2-1+0\\\ 0+2-2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}.

Passo 8

Usando [L]_{\mathcal S}^{T} de (b):
\begin{pmatrix} 1 &2 &1\\\\ 2 &-1&0\\\\ -3&1 &0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ -2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1+2-2\\\ 2-1+0\\\ -3+1+0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ -2\end{pmatrix}_T \quad\Longrightarrow\quad L(1,1,-2)=1\,t_1+1\,t_2-2\,t_3=(1,1,0).

Passo 9

Usando [L]_{T}^{\mathcal S} de (c): primeiro coordenadas de (1,1,-2) em T, que são (1,1,-4). Então
\begin{pmatrix} 2 &3 &1\\\\ 2 &-1&0\\\\ 1 &3 &1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ -4\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2+3-4\\\ 2-1+0\\\ 1+3-4\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}.

Passo 10

Usando [L]_{T}^{T} de (d) e o mesmo (1,1,-4):
\begin{pmatrix} 2 &3 &1\\\\ 2 &-1&0\\\\ -3&1 &0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ -4\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2+3-4\\\ 2-1+0\\\ -3+1+0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ -2\end{pmatrix}_T \quad\Longrightarrow\quad L(1,1,-2)=(1,1,0).

Resposta

(a) \displaystyle [L]_{\mathcal S}^{\mathcal S}=\begin{pmatrix}1&2&1\\\ 2&-1&0\\\ 0&2&1\end{pmatrix}.
(b) \displaystyle [L]_{\mathcal S}^{T}=\begin{pmatrix}1&2&1\\\ 2&-1&0\\\ -3&1&0\end{pmatrix}.
(c) \displaystyle [L]_{T}^{\mathcal S}=\begin{pmatrix}2&3&1\\\ 2&-1&0\\\ 1&3&1\end{pmatrix}.
(d) \displaystyle [L]_{T}^{T}=\begin{pmatrix}2&3&1\\\ 2&-1&0\\\ -3&1&0\end{pmatrix}.
(e) Em todos os casos obtemos L(1,1,-2)=(1,1,0).