Sejam p0(x), p1(x) e p2(x) ortogonais em relação ao produto interno
lang<= p(x), q(x)rang<==integral-1^1 p(x) q(x)1+x^2 d x
Use o Teorema 5.7.2 para calcular p1(x) e p2(x) se todos os polinômios tiverem o primeiro coeficiente 1.

Passo 1

O enunciado pede para construir, pelo Teorema 5.7. 2 (Gram–Schmidt), três polinômios ortogonais p0,p1,p2 com peso w(x)=1/(1+x^2) em [-1,1] e todos com coeficiente principal igual a 1. Suponhamos já dado
p0(x)=1
Precisamos aplicar Gram–Schmidt para achar p1 e p2.

Passo 2

Para obter p1(x), fazemos
widetilde p1(x)=x-lang<= x,p0rang<=lang<= p0,p0rang<=,p0(x)
Calculamos
lang<= x,p0rang<==integral-1^1xcdot11+x^2dx=0(integrando função ímpar) çãí
e
lang<= p0,p0rang<==integral-1^11cdot11+x^2dx=l[arctan(x)r]-1^1=pi/2
Logo widetilde p1(x)=x e, como já tem coeficiente principal 1, definimos
p1(x)=x

Passo 3

Para p2(x), fazemos o ansatz
p2(x)=x^2+a,x+b,
com a,b ainda desconhecidos, e impomos as condições de ortogonalidade
lang<= p2,p0rang<==0, lang<= p2,p1rang<==0

Passo 4

Calculamos primeiro
lang<= p2,p0rang<= =integral-1^1x^2+a,x+b1+x^2dx =integral-1^1x^21+x^2dx + aunderbraceintegral-1^1x1+x^2dx0 + bintegral-1^111+x^2dx
Como
integral-1^1x^21+x^2dx =integral-1^1l(1-11+x^2r)dx =2-pi2, integral-1^111+x^2dx=pi2,
a condição lang<= p2,p0rang<==0
2-pi2+bpi2=0 Longrightarrow b=pi2-2pi2 =1-4pi

Passo 5

Agora
lang<= p2,p1rang<= =integral-1^1(x^2+a x+b),x1+x^2dx =integral-1^1x^31+x^2dx + aintegral-1^1x^21+x^2dx + bunderbraceintegral-1^1x1+x^2dx0
Note que
integral-1^1x^31+x^2dx =integral-1^1l(x-x1+x^2r)dx =0,
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lang<= p2,p1rang<= =al(2-pi2r)=0 Longrightarrow a=0

Resposta

p1(x) = x
p2(x) = x^2 + 1 - 4pi

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