Sejam P uma projeção ortogonal e alpha>0. Exprima a raiz quadrada positiva de I+alpha P em termos de P .

Passo 1

O exercício pede a raiz quadrada positiva de I+alpha P, onde P é projeção ortogonal (isto é, P^2=P e P^*=P) e alpha>0. Vamos usar a decomposição espectral de um operador idempotente para resolver.

Passo 2

Como P é projeção ortogonal, o espaço se decompõe em Im(P)oplusker(P) com projeções associadas P e Q=I-P. Em Im(P) temos P=I, e em ker(P) temos P=0.

Passo 3

No subespaço Im(P):
(I+alpha P)|Im(P) = (1+alpha)I, cuja raiz positiva é raiz1+alpha,I.

Passo 4

No subespaço ker(P):
(I+alpha P)|ker(P) = I, cuja raiz positiva é I.

Passo 5

Pela decomposição funcional do operador, juntamos as raízes em cada subespaço e obtemos raizI+alpha P = Q + raiz1+alpha,P.

Passo 6

Substituindo Q=I-P no resultado acima, chega-se a
raizI+alpha P = I + (raiz1+alpha-1),P.

Resposta

raizI+alpha P = I + (raiz1+alpha-1),P