Sejam
uma projeção ortogonal e
. Exprima a raiz quadrada positiva de
em termos de P .
Passo 1
O exercício pede a raiz quadrada positiva de
, onde
é projeção ortogonal (isto é,
e
) e
. Vamos usar a decomposição espectral de um operador idempotente para resolver.
Passo 2
Como
é projeção ortogonal, o espaço se decompõe em
com projeções associadas
e
. Em
temos
, e em
temos
.
Passo 3
No subespaço
:
, cuja raiz positiva é
.
Passo 4
No subespaço
:
, cuja raiz positiva é
.
Passo 5
Pela decomposição funcional do operador, juntamos as raízes em cada subespaço e obtemos
.
Passo 6
Substituindo
no resultado acima, chega-se a
.