1.1.19 Dê três exemplos de matrizes hermitianas. Mostre que a diagonal principal de uma matriz hermitiana só pode conter números reais.
Passo 1
O enunciado pede três exemplos de matrizes hermitianas e que a gente mostre por que os elementos da diagonal principal de uma matriz hermitiana têm de ser reais. O conteúdo envolve a definição de matriz hermitiana (igual à sua transposta conjugada) e uma propriedade dos elementos diagonais.
Passo 2
Uma matriz de ordem é hermitiana se ela satisfaz
onde é a transposta conjugada de . Em termos de elementos, isso significa
para todo i,j.
Passo 3
Três exemplos de matrizes hermitianas são as seguintes:
A = 1 & 2 + i 2 - i & 3 ,
B = 0 & -i i & 5 ,
C = 4 & 0 & 2i 0 & 7 & 3 + i -2i & 3 - i & 1
Em cada caso, verifica-se que aij = aji.
Passo 4
Para ver por que os elementos da diagonal principal são reais, note que para i=j a condição hermitiana vira
aii = aii
Mas um número complexo é igual ao seu conjugado se, e só se, sua parte imaginária é zero. Logo cada aii é um número real.
Resposta
Três exemplos de matrizes hermitianas são:
A = 1 & 2 + i 2 - i & 3
B = 0 & -i i & 5
C = 4 & 0 & 2i 0 & 7 & 3 + i -2i & 3 - i & 1
A diagonal principal de uma matriz hermitiana contém apenas números reais porque, para cada elemento diagonal, vale
aii = aii,
o que implica que a parte imaginária de aii é zero.
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Thelmo de Araújo - Álgebra Linear, Teoria e Aplicação - 1ª Edição - Capítulo 1.1.1 - Ex. 1.1.19