2.4 Usando o teorema dos números primos calcule valores aproximados para
e para
. Compare os valores obtidos com os seguintes valores exatos:
e
.
Passo 1
O enunciado quer aproximar o número de primos até 10^5 e 10^7 usando o Teorema dos Números Primos (PNT), que diz que π(x) cresce como x/ln x. Vamos precisar calcular ln(10^5) e ln(10^7) e aplicar a fórmula π(x)≈x/ln x.
Passo 2
O Teorema dos Números Primos nos dá:
[\pi(x) \sim \frac{x}{\ln x}]
[\pi(x) \sim \frac{x}{\ln x}]
Passo 3
Calculamos primeiro ln(10^5). Como ln(10^5)=5·ln 10 e ln 10≈2,302585, temos ln(10^5)≈5·2,302585=11,512925.
Aplicando π(105)≈105/ln(10^5), obtemos π(10^5)≈100000/11,512925≈8685,9.
Aplicando π(105)≈105/ln(10^5), obtemos π(10^5)≈100000/11,512925≈8685,9.
Passo 4
Para x=10^7, calculamos ln(10^7)=7·ln 10≈7·2,302585=16,118095. Então π(107)≈107/16,118095≈620420.
Passo 5
Comparando com os valores exatos π(10^5)=9592 e π(10^7)=664579, vemos que o erro relativo é cerca de (9592−8686)/9592≈9,5% para 10^5 e (664579−620420)/664579≈6,6% para 10^7, mostrando que a aproximação melhora para x maior.
Resposta
Usando π(x)≈x/ln x obtemos:
• π(10^5)≈8686 (exato 9592, erro ≈9,5%)
• π(10^7)≈620420 (exato 664579, erro ≈6,6%)
• π(10^5)≈8686 (exato 9592, erro ≈9,5%)
• π(10^7)≈620420 (exato 664579, erro ≈6,6%)