Use o Matlab para mostrar na tela a matriz A em cada um dos seguintes casos. Encontre o menor valor de k tal que A^{k} é uma matriz nula. Aqui tril, ones, triu, fix e rand são comandos do Matlab. (Para ver uma descrição, utilize help.)
(a) A=\operatorname{tril}(\operatorname{ones}(5),-1)
Passo 1
O enunciado define a matriz
A = \operatorname{tril}(\operatorname{ones}(5),-1)
que é uma matriz 5\times5 com uns abaixo da diagonal principal e zeros na diagonal e acima dela. O objetivo é exibir A e achar o menor inteiro k tal que A^{k} seja a matriz nula. O conteúdo envolvido é o de matrizes estritamente triangulares, que são nilpotentes.
Passo 2
Vamos escrever explicitamente A. Como \operatorname{ones}(5) é a matriz de todos uns e \operatorname{tril}(\,\cdot\,,-1) conserva apenas os elementos abaixo da diagonal, temos
Uma propriedade geral é: toda matriz estritamente triangular inferior n\times n satisfaz
A^{n} = 0
e A^{n-1}\neq 0. No nosso caso n=5, logo A^5 é nula. Para ver que A^4\neq 0, note que a entrada (5,1) de A^4 corresponde ao produto de 4 “uns” na cadeia de subdiagonais de A, de modo que
(A^4)_{5,1}=1\neq 0.
Passo 4
Portanto, o menor expoente k tal que A^k é a matriz nula é k=5.
Resposta
O menor k com A^k=0 é 5.
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Bernard K e David R - Introdução à Álgebra Linear Com Aplicações (Vol 1) - 8ª Edição - Capítulo 1.4. Exercícios com o Matlab - Ex. ML.2.a